División de un segmento en una razón dada. Punto medio

Un punto entre dos puntos

Si P divide al segmento AB de modo que AP : PB = m : n, sus coordenadas son x = (n·x₁ + m·x₂)/(m + n) y y = (n·y₁ + m·y₂)/(m + n). El punto medio es el caso m = n: ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2).

Ejemplo. Sean A(1, 2) y B(10, 11). El punto P con AP : PB = 2 : 1 tiene x = (1 · 1 + 2 · 10)/3 = 7 y y = (1 · 2 + 2 · 11)/3 = 8, es decir, P(7, 8). Está a dos tercios del camino desde A. El punto medio es (5.5, 6.5).

Si la razón es r = AP/PB. Se pueden usar las fórmulas x = (x₁ + r·x₂)/(1 + r). Con r = 2 se obtiene el mismo resultado.

Error típico. Invertir la razón, tomando AP : PB = 1 : 2 cuando es 2 : 1. Eso daría el punto (4, 5), que está a un tercio de A. Una comprobación: con AP : PB = 2 : 1, P debe quedar más cerca de B que de A, y la distancia AP debe ser el doble de PB.