La derivada

La derivada mide qué tan rápido cambia una función en cada punto, y es el bloque más extenso del cálculo diferencial. Se construye en tres capas: primero la definición y las reglas para calcularla, luego su interpretación (pendiente de la tangente, velocidad) y por último sus aplicaciones, como graficar o resolver problemas de optimización.

Qué debes dominar

• Definición y notaciones: el cociente incremental y sus símbolos f′, y′ y dy/dx.
• Obtención de derivadas: las reglas de potencia, suma, producto y cociente.
• Regla de la cadena y derivación implícita: funciones compuestas y curvas que no se despejan.
• Derivadas sucesivas: segunda, tercera y órdenes superiores.
• Interpretación geométrica y física: pendiente de la tangente y razón de cambio.
• Tangente y normal: las dos rectas asociadas a un punto de la curva.
• Velocidad y aceleración: la primera y segunda derivada de la posición.
• Máximos, mínimos, concavidad e inflexión: el análisis de una curva con f′ y f″.
• Problemas cotidianos: plantear una función y optimizarla.

Cómo practicarlo

Hay reactivos de procedimiento puro: calcular una derivada con una regla o dos combinadas. Otros piden la ecuación de la recta tangente o normal en un punto, o el valor de la derivada en un punto concreto. Los de aplicación se reconocen por sus palabras clave: «máximo», «mínimo», «el mayor área», «instante en que la velocidad es cero».

En los problemas de optimización, lo difícil casi nunca es derivar, sino escribir la función que se va a derivar a partir del enunciado.

Errores comunes

• Derivar un producto como el producto de las derivadas.
• Olvidar multiplicar por la derivada de lo que está dentro en la regla de la cadena.
• Dar como respuesta el punto crítico cuando se pedía el valor máximo, o al revés.
• Pensar que f′(x) = 0 implica siempre un máximo o un mínimo; puede ser un punto de inflexión.