Demostración, prueba y conclusiones

Justificar con álgebra, refutar con un caso

Para demostrar que una propiedad vale para todos los números de cierto tipo, se representa el tipo con una letra y se opera. Para refutar una afirmación «para todo», basta un contraejemplo. Esta diferencia de fuerza entre confirmar y refutar es lo que se evalúa cuando se piden conclusiones.

Ejemplo. Demuestra que la suma de tres enteros consecutivos es múltiplo de 3. Si son n, n + 1 y n + 2, su suma es 3n + 3 = 3(n + 1), que es múltiplo de 3 para cualquier n. En cambio, la afirmación «todo número primo es impar» se refuta con un solo caso: 2 es primo y es par.

Error típico. Aceptar como prueba tres o cuatro ejemplos favorables. Que 3 + 4 + 5 = 12, 6 + 7 + 8 = 21 y 10 + 11 + 12 = 33 sean múltiplos de 3 no demuestra nada; lo hace el desarrollo con n. Cuando un reactivo diga «se concluye necesariamente», elige la opción respaldada por el razonamiento general, no por los ejemplos.