Interpretación geométrica y física

Qué mide la derivada

Geométricamente, f′(a) es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (a, f(a)). Físicamente es la razón de cambio instantánea de f cuando x vale a: cuánto cambia f por cada unidad de x en ese momento exacto.

Ejemplo. Para f(x) = x², la razón promedio en el intervalo de 3 a 3.01 es (3.01² − 9)/0.01 = 6.01. Esa es la pendiente de la secante. Al reducir el intervalo el valor se acerca a 6, que es f′(3), la pendiente de la tangente.

Error típico. Confundir la razón de cambio promedio (la pendiente de la secante entre dos puntos) con la instantánea. La primera se calcula con dos valores de la función; la segunda con la derivada en un solo punto. Una derivada positiva indica función creciente y una negativa, decreciente.