Métodos de integración

Cuando la integral no es inmediata

La sustitución elige u = g(x) cuando la derivada de g aparece en el integrando, y cambia dx por du/g′(x). La integración por partes, ∫ u dv = uv − ∫ v du, se usa para productos como x · eˣ; conviene tomar como u la función que se simplifica al derivar.

Ejemplo 1. En ∫ 2x(x² + 1)³ dx, con u = x² + 1 se tiene du = 2x dx, y queda ∫ u³ du = u⁴/4 + C = (x² + 1)⁴/4 + C. Ejemplo 2. En ∫ x eˣ dx, con u = x y dv = eˣ dx: x eˣ − ∫ eˣ dx = x eˣ − eˣ + C.Error típico. Cambiar la variable en el integrando pero dejar el dx de la variable anterior, o dejar el resultado en términos de u. Al final siempre hay que regresar a x. En partes, elegir mal u complica la integral en lugar de simplificarla.