La integral

La integral hace el trabajo inverso de la derivada y a la vez calcula áreas y acumulaciones. El tema va de la idea a la técnica: primero qué funciones se pueden integrar y qué propiedades cumple la integral, luego las fórmulas y los métodos para calcular antiderivadas, y finalmente la integral definida, que da un número.

Qué debes dominar

• Función integrable: qué significa que una función tenga integral en un intervalo cerrado y cómo se aproxima con sumas.
• Propiedades y teoremas: linealidad, aditividad en intervalos y cambio de signo al invertir los límites.
• Integral inmediata y tabla de fórmulas: las antiderivadas que se obtienen leyendo la fórmula.
• Métodos de integración: sustitución, por partes y otras técnicas para integrales que no son inmediatas.
• Integral definida: notación, evaluación entre límites y significado de área con signo.

Cómo practicarlo

Una integral indefinida puede plantearse con varias antiderivadas como posibles respuestas; verificar es sencillo, porque al derivar la correcta se recupera el integrando. En las definidas se pide un valor numérico, a veces como el área bajo una curva entre dos ordenadas. Con propiedades, el dato suele ser la integral de un mismo f en distintos intervalos, que hay que combinar.

Para sustituir, busca en el integrando la derivada de la función interior, como 2x multiplicando a (x² + 1)ⁿ.

Errores comunes

• Olvidar la constante de integración C en una integral indefinida.
• Usar la fórmula de potencias con n = −1: la integral de 1/x es ln|x|, no x⁰/0.
• Restar F(a) − F(b) en lugar de F(b) − F(a) en la integral definida.
• Escribir que la integral de un producto es el producto de las integrales.