Dominio y rango

Qué entradas y qué salidas

El seno y el coseno están definidos para todo número real y toman valores entre −1 y 1. La tangente no está definida donde el coseno vale cero (x = π/2 + kπ), y su rango es todo ℝ. La secante y la cosecante, al ser recíprocos de números entre −1 y 1, toman valores de módulo mayor o igual que 1: su rango es (−∞, −1] ∪ [1, ∞).

Con transformaciones. En y = A sen(Bx − C) + D el rango es [D − |A|, D + |A|]. Para y = 2 sen x + 1, el rango es [−1, 3]. Para y = 3 cos x − 2, el rango es [−5, 1]. El dominio no cambia por A ni D, aunque sí puede cambiar en la tangente: y = tan 2x excluye x = π/4 + kπ/2.

Comprobación. En y = 3 cos x − 2, el máximo se alcanza con cos x = 1: 3 − 2 = 1, y el mínimo con cos x = −1: −3 − 2 = −5.

Error típico. Dar el rango como [−A, A] sin sumar el desplazamiento vertical D. Otro: decir que la tangente tiene rango [−1, 1], que es el del seno; la tangente toma cualquier valor real.