Continuidad en un punto y en un intervalo

Tres condiciones para ser continua

Una función f es continua en a si cumple tres cosas: f(a) existe, el límite de f(x) en a existe y los dos valores coinciden. Es continua en un intervalo si lo es en cada uno de sus puntos (en los extremos de un intervalo cerrado se usan límites laterales). Si falla alguna condición, la discontinuidad puede ser removible, de salto o infinita.

Ejemplo. Sea f(x) = kx + 1 si x < 2 y f(x) = x² − 1 si x ≥ 2. Por la derecha, f(2) = 3. Por la izquierda el límite es 2k + 1. Igualando, 2k + 1 = 3 y k = 1. Con ese valor la función es continua en x = 2.

Error típico. Revisar solo el límite y olvidar f(a). Por ejemplo, si f(x) = (x² − 1)/(x − 1) para x ≠ 1 y f(1) = 3, el límite es 2 pero f(1) = 3: hay una discontinuidad removible, que se elimina redefiniendo f(1) = 2.