Definición formal

La definición de ε y δ

Decir que el límite de f(x) en a es L significa: para cada ε > 0 (tolerancia en la salida) existe un δ > 0 (tolerancia en la entrada) tal que si 0 < |x − a| < δ, entonces |f(x) − L| < ε. La desigualdad 0 < |x − a| excluye el propio punto a.

Ejemplo. Probar que el límite de 2x + 1 cuando x tiende a 3 es 7. Se busca que |(2x + 1) − 7| = 2|x − 3| sea menor que ε; basta con |x − 3| < ε/2. Por eso δ = ε/2 funciona: para ε = 0.1, δ = 0.05.

Error típico. Invertir el orden: primero se da ε y después se encuentra δ, que depende de ε. Otro descuido es olvidar que δ debe servir para todos los x del intervalo, no solo para uno.