Ecuaciones de las medianas, mediatrices y alturas de un triángulo. Puntos de intersección (ortocentro, circuncentro y baricentro)

Tres rectas, tres puntos notables

La mediana une un vértice con el punto medio del lado opuesto; las tres concurren en el baricentro, que es el promedio de las coordenadas de los vértices. La mediatriz de un lado es la recta perpendicular a él por su punto medio; las tres concurren en el circuncentro, equidistante de los vértices. La altura es la recta que pasa por un vértice y es perpendicular al lado opuesto; las tres concurren en el ortocentro.

Ejemplo. Con A(0, 0), B(8, 0) y C(2, 6). Baricentro: G = ((0 + 8 + 2)/3, (0 + 0 + 6)/3) = (10/3, 2). Circuncentro: la mediatriz de AB es x = 4; la de AC pasa por (1, 3) con pendiente −1/3 (perpendicular a la de AC, que es 3); en x = 4 da y = 3 − 1 = 2, así que O = (4, 2). Ortocentro: la altura desde C es x = 2; la de A es perpendicular a BC, de pendiente −1, luego y = x; de ahí H = (2, 2).

Comprobación. O está a la misma distancia √20 de los tres vértices, y G, H y O están sobre la recta y = 2, con G = (H + 2O)/3.

Error típico. Confundir mediatriz con mediana: la mediatriz es perpendicular al lado, mientras que la mediana pasa por el vértice. En el ejemplo, la mediana desde A va a (5, 3), y no es perpendicular a BC.