Coordenadas de un punto que divide a un segmento de acuerdo con una razón dada

Dividir un segmento en proporción

Si P divide a AB en la razón AP : PB = m : n, sus coordenadas son x = (n·x₁ + m·x₂)/(m + n) y y = (n·y₁ + m·y₂)/(m + n). Cada coordenada es un promedio ponderado: el extremo más cercano a P tiene mayor peso. Con m = n se obtiene el punto medio.

Ejemplo. A(−3, 4) y B(6, −2) con AP : PB = 1 : 2: x = (2 · (−3) + 1 · 6)/3 = 0 y y = (2 · 4 + 1 · (−2))/3 = 2. El punto es (0, 2), a un tercio del camino desde A.

Extremo desconocido. Si el punto medio es M(2, 3) y uno de los extremos es A(−1, 5), el otro es B = 2M − A = (4 + 1, 6 − 5) = (5, 1). Comprobación: el punto medio de A y B es (2, 3).

Error típico. Invertir los pesos. En el ejemplo, el punto está más cerca de A, así que A pesa más (2) y B menos (1). Con la razón al revés se obtendría (3, 0), que está a un tercio de B. Una forma de verificar es el sentido común: P debe ubicarse entre A y B.