Ley de los Senos y Ley de los Cosenos

Dos leyes para triángulos cualesquiera

La ley de los senos dice que a/sen A = b/sen B = c/sen C. La ley de los cosenos dice que c² = a² + b² − 2ab cos C, y es la generalización del teorema de Pitágoras. La de los senos es la herramienta cuando se conoce un lado y su ángulo opuesto; la de los cosenos, cuando se conocen dos lados y el ángulo entre ellos, o los tres lados.

Ejemplo. Dos lados de 9 y 12 forman un ángulo de 50°. El tercer lado es c = √(81 + 144 − 2 · 9 · 12 · cos 50°) ≈ 9.28. El ángulo opuesto al lado 9 cumple sen A = 9 · sen 50°/9.28 ≈ 0.743 y A ≈ 47.97°. El área es (1/2)(9)(12) sen 50° ≈ 41.37.

Cómo decidir. Si el ángulo conocido está entre los lados dados, usa cosenos; si el ángulo conocido está frente a un lado dado, usa senos.

Error típico. Usar la ley de los senos cuando el ángulo está entre los dos lados dados: no hay pareja lado-ángulo opuesto conocida. Otro error es el signo del término 2ab cos C, que debe restarse.