Derivadas de sumas, productos, cocientes y potencias de funciones

Cuatro reglas para derivar casi todo

La derivada de xⁿ es n·xⁿ⁻¹. Suma: (f + g)′ = f′ + g′. Producto: (f·g)′ = f′g + f g′. Cociente: (f/g)′ = (f′g − f g′)/g². Potencia de una función: (uⁿ)′ = n·uⁿ⁻¹·u′.

Producto. f(x) = (x² − 2)(2x + 5): f′ = 2x(2x + 5) + 2(x² − 2) = 4x² + 10x + 2x² − 4 = 6x² + 10x − 4. Se comprueba desarrollando: 2x³ + 5x² − 4x − 10 tiene derivada 6x² + 10x − 4.

Cociente. f(x) = x/(x² + 1): f′ = [1·(x² + 1) − x·2x]/(x² + 1)² = (1 − x²)/(x² + 1)².

Potencia. f(x) = (2x + 1)⁵: f′ = 5(2x + 1)⁴ · 2 = 10(2x + 1)⁴.

Error típico. Escribir (f·g)′ = f′·g′. Con f = g = x, el producto es x², cuya derivada es 2x, pero f′g′ = 1. En el cociente, invertir el orden del numerador cambia el signo del resultado. Y en la potencia, olvidar multiplicar por la derivada de lo que está dentro (el 2 en el último ejemplo).