La noción de lugar geométrico

Una condición, muchos puntos

Un lugar geométrico es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una condición dada y solo esos. Para encontrar su ecuación se toma un punto genérico P(x, y), se escribe la condición con la fórmula de distancia u otra relación y se simplifica hasta tener una ecuación en x e y.

Ejemplos. Los puntos que equidistan de (0, 0) y (4, 0): se iguala √(x² + y²) con √((x − 4)² + y²); al elevar al cuadrado, x² = x² − 8x + 16, y resulta x = 2, la recta vertical que es mediatriz del segmento. Los puntos a distancia 5 del origen cumplen √(x² + y²) = 5, es decir, x² + y² = 25, una circunferencia de radio 5 con centro en el origen.

Error típico. Quedarse con puntos sueltos que cumplen la condición y creer que ya se tiene el lugar geométrico. Hay que comprobar que todos los puntos de la figura la cumplan y que ningún otro lo haga. Un descuido frecuente al elevar al cuadrado es olvidar que (x − 4)² se desarrolla como x² − 8x + 16, no como x² − 16.