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Formulario de Matemáticas para el examen de admisión

Todas las fórmulas del temario, ordenadas por tema, y tres calculadoras que te enseñan el procedimiento: fórmula general, sistemas 2×2 y triángulos.

Fórmula general
Sistema 2×2
Triángulos

Temario UNAM: módulos 1, 2 y 8

Álgebra

Exponentes, radicales, productos notables, factorización, logaritmos y números complejos: la base de todo lo demás.

Leyes de los exponentes y radicales11 fórmulas

a^m · aⁿ = a^m+nProducto: se suman
a^maⁿ = a^m−nCociente: se restan
(a^m)ⁿ = a^m·nPotencia de potencia: se multiplican
(ab)ⁿ = aⁿbⁿPotencia de un producto
(ab)ⁿ = aⁿbⁿPotencia de un cociente
a⁰ = 1Con a ≠ 0
a⁻ⁿ = 1aⁿExponente negativo
a^m/n = na^mExponente fraccionario
nab = na · nbRaíz de un producto
nab = nanbRaíz de un cociente
1a = aaRacionalizar

Productos notables7 fórmulas

(a + b)² = a² + 2ab + b²Binomio al cuadrado
(a − b)² = a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b) = a² − b²Binomios conjugados
(x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + abTérmino común
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³Binomio al cubo
(a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³

Binomio de Newton

(a + b)ⁿ = Σ_k=0ⁿ (nk) a^n−kb^k

(nk): n! / (k!(n − k)!): sale del triángulo de Pascal (para n = 4: 1, 4, 6, 4, 1)
k + 1: el término número k + 1 es (n k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ

Factorización8 fórmulas

ax + ay = a(x + y)Factor común
a² − b² = (a + b)(a − b)Diferencia de cuadrados
a² ± 2ab + b² = (a ± b)²Trinomio cuadrado perfecto
x² + bx + c = (x + m)(x + n)Con m + n = b y m·n = c
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂)x₁, x₂: sus raíces
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)Suma de cubos
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)Diferencia de cubos

Teorema del residuo y del factor

P(x) ÷ (x − r) deja residuo P(r)

Si P(r) = 0, entonces (x − r) es un factor de P(x). Sirve para encontrar raíces probando divisores del término independiente.

Logaritmos y exponenciales8 fórmulas

log_b x = y ⇔ b^y = xDefinición (b > 0, b ≠ 1, x > 0)
log_b(xy) = log_b x + log_b yProducto
log_b(xy) = log_b x − log_b yCociente
log_b xⁿ = n log_b xPotencia
log_b b = 1,log_b 1 = 0,b^{log_b x} = x
log_b x = log xlog b = ln xln bCambio de base

Función exponencial

y = b^x

Dominio: todos los reales. Rango: (0, ∞). Asíntota horizontal: y = 0. Crece si b > 1 y decrece si 0 < b < 1.

Función logarítmica

y = log_b x

Dominio: (0, ∞). Rango: todos los reales. Asíntota vertical: x = 0. Es la inversa de la exponencial.

Números complejos5 fórmulas

i = −1,i² = −1Unidad imaginaria
i¹ = i, i² = −1, i³ = −i, i⁴ = 1Se repiten cada 4
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)iSuma
(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)iProducto
(a + bi)(a − bi) = a² + b²Por su conjugado

Para una potencia grande de i, divide el exponente entre 4 y usa el residuo: i²⁷ = i³ = −i. Para dividir, multiplica arriba y abajo por el conjugado del denominador.

Temario UNAM: módulos 3, 4 y 5

Ecuaciones

Primer y segundo grado, desigualdades y sistemas. Aquí están las dos calculadoras que más se usan: fórmula general y sistema 2×2.

Primer grado y desigualdades3 fórmulas

ax + b = 0→x = −baCon a ≠ 0
−2x < 6→x > −3Al multiplicar o dividir entre un negativo, el signo se voltea
a < b→a + c < b + cSumar o restar no cambia el signo

Fórmula general (segundo grado)

x = −b ± b² − 4ac2a

ax² + bx + c = 0: la ecuación igualada a cero
Δ: b² − 4ac, el discriminante

Δ > 0: dos raíces reales distintas. Δ = 0: una raíz doble. Δ < 0: dos raíces complejas conjugadas.

Suma y producto de las raíces

x₁ + x₂ = −ba,x₁·x₂ = ca

Muy preguntada: te dan las raíces y piden la ecuación, o al revés.

Ecuaciones incompletas

ax² + c = 0 → x = ±−ca

Y ax² + bx = 0 se factoriza: x(ax + b) = 0, así que x = 0 o x = −b/a. No necesitas la fórmula general.

Calculadora paso a paso

Resuelve tu ecuación de segundo grado

Escribe a, b y c de ax² + bx + c = 0. Acepta negativos, decimales y fracciones (1/2).

ax²bxc

Tu ecuación:

2x² − 3x − 2 = 0

SolucionesDos raíces reales racionales

x₁ = 2

x₂ = −12

Aproximadas: 2 · −0.5

Paso a paso

Identifica a, b y c
a = 2, b = −3, c = −2
Calcula el discriminante
Δ = b² − 4ac
Δ = (−3)² − 4(2)(−2) = 9 + 16 = 25
Δ > 0: hay dos raíces reales distintas (la parábola corta el eje x en dos puntos).
Sustituye en la fórmula general
x = −b ± Δ2a = 3 ± 252(2) = 3 ± 254
Saca la raíz y separa el ±
25 = 5
x₁ = 3 + 54 = 84 = 2
x₂ = 3 − 54 = −24 = −12
Comprueba con la suma y el producto
x₁ + x₂ = −ba = 32
x₁ · x₂ = ca = −1
Si tus raíces no suman ni multiplican eso, hay un error de signo en algún paso.
Escríbela factorizada
2x² − 3x − 2 = (x − 2)(2x + 1)
Así puedes comprobar multiplicando: debe salir el trinomio original.

Sistema 2×2 con determinantes (Cramer)

x = D_xD,y = D_yD

D: a₁b₂ − a₂b₁ (coeficientes de x y de y)
D_x: c₁b₂ − c₂b₁ (cambia la columna de x por los resultados)
D_y: a₁c₂ − a₂c₁ (cambia la columna de y por los resultados)

Si D = 0: con Dx = Dy = 0 hay infinitas soluciones (la misma recta); si no, ninguna (rectas paralelas).

Sistema 3×3 (regla de Sarrus)

D = a₁b₂c₃ + b₁c₂a₃ + c₁a₂b₃ − c₁b₂a₃ − a₁c₂b₃ − b₁a₂c₃

a_ix + b_iy + c_iz = d_i: cada ecuación

Igual que en 2×2: x = Dx/D, y = Dy/D, z = Dz/D, cambiando la columna de cada incógnita por la de los resultados d.

Calculadora paso a paso

Resuelve un sistema de 2 ecuaciones

Escribe los coeficientes de cada ecuación (ax + by = c) y elige el método que te pidan.

xy= resultado

(1)xy

(2)xy

Tu sistema:

(1) 2x + 3y = 8

(2) x − y = −1

SoluciónD = −5

x = 1

y = 2

Las rectas se cortan en un solo punto.

(1) (2)· cruce en (1, 2)· de −5 a 5

Iguala los coeficientes de x
(1): 2x + 3y = 8
(2) × 2: 2x − 2y = −2
Así x tiene el mismo número en las dos ecuaciones.
Resta las ecuaciones
2x + 3y = 8
− (2x − 2y = −2)
5y = 10
La x se elimina y queda una ecuación con y.
Despeja y
y = 105 = 2
Sustituye y en la ecuación (1)
2x + 3(2) = 8
2x = 2
x = 22 = 1

Comprueba en las dos ecuaciones

2(1) + 3(2) = 8 ✓

1 − 2 = −1 ✓

Temario UAM: geometría euclidiana

Geometría plana y del espacio

Áreas, perímetros, ángulos y volúmenes. Es un tema propio del temario UAM y la base de muchos problemas de trigonometría y geometría analítica.

Áreas y perímetros11 fórmulas

A = l²,P = 4lCuadrado
A = bh,P = 2b + 2hRectángulo
A = bh2Triángulo
A = s(s − a)(s − b)(s − c),s = a + b + c2Triángulo con sus 3 lados (Herón)
A = 34l²,h = 32lTriángulo equilátero
A = Dd2Rombo (D y d, sus diagonales)
A = bhRomboide o paralelogramo
A = (B + b)h2Trapecio
A = P·a_p2Polígono regular (perímetro por apotema)
A = πr²,C = 2πrCírculo y circunferencia

Sector circular y arco

A = θr²2,s = rθ

θ: el ángulo central en radianes (en grados: A = πr²θ/360)

Triángulos y ángulos6 fórmulas

c² = a² + b²Pitágoras (c es la hipotenusa)
180°(n − 2)Suma de ángulos interiores de un polígono de n lados
180°(n − 2)nCada ángulo interior de un polígono regular
n(n − 3)2Número de diagonales
α + β = 90°·α + β = 180°Complementarios · suplementarios
aa′ = bb′ = cc′Triángulos semejantes (Tales)

Dos paralelas cortadas por una transversal: los ángulos alternos internos son iguales, los correspondientes son iguales y los colaterales internos suman 180°.

Volúmenes y áreas de cuerpos5 fórmulas

V = A_base · hPrisma (caja: V = abc; cubo: V = l³)
V = A_base · h3Pirámide
V = πr²h,A_lateral = 2πrhCilindro
V = πr²h3,A_lateral = πrgCono (g, la generatriz)
V = 43πr³,A = 4πr²Esfera

Temario UNAM: módulo 7

Trigonometría

Razones, ángulos notables, identidades y triángulos oblicuángulos. Abajo, la calculadora de ley de senos y cosenos con conversión a radianes.

Razones y ángulos notables

180° = π rad→rad = grados · π180Conversión
sen θ = coh,cos θ = cah,tan θ = cocaco: cateto opuesto · ca: adyacente · h: hipotenusa
csc θ = 1sen θ,sec θ = 1cos θ,cot θ = 1tan θRecíprocas

Ángulo	0°	30°	45°	60°	90°
sen	0	12	22	32	1
cos	1	32	22	12	0
tan	0	33	1	3	no existe

Signos por cuadrante: en el I todas son positivas; en el II, solo seno (y cosecante); en el III, tangente (y cotangente); en el IV, coseno (y secante). Reducción: sen(180° − θ) = sen θ, cos(180° − θ) = −cos θ, sen(−θ) = −sen θ, cos(−θ) = cos θ.

Identidades9 fórmulas

sen²θ + cos²θ = 1Pitagórica (de esta salen las otras dos)
1 + tan²θ = sec²θDivide la anterior entre cos²θ
1 + cot²θ = csc²θDivide entre sen²θ
tan θ = sen θcos θCociente
sen(α ± β) = sen α cos β ± cos α sen βSuma y resta de ángulos
cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sen α sen βOjo: el signo se invierte
tan(α ± β) = tan α ± tan β1 ∓ tan α tan β
sen 2α = 2 sen α cos αÁngulo doble
cos 2α = cos²α − sen²α = 1 − 2sen²α

Ley de senos

asen A = bsen B = csen C

Úsala cuando conoces un lado y su ángulo opuesto. Con dos lados y un ángulo opuesto (LLA) puede haber dos triángulos: el caso ambiguo.

Ley de cosenos

a² = b² + c² − 2bc cos A

Igual para los otros lados: b² = a² + c² − 2ac cos B, c² = a² + b² − 2ab cos C. Úsala con LAL o LLL. Área: ½ab sen C.

Calculadora paso a paso

Resuelve cualquier triángulo

Elige qué datos tienes y sale lo que falta, con ley de senos o de cosenos. El lado a está frente al ángulo A.

¿Qué datos tienes?

Lado aLado bÁngulo C°

Tu triángulo

c4.51

A45.4°

B94.6°

C40°

En negritas, lo que se calculó. Ángulos en radianes: A ≈ 0.7923, B ≈ 1.6511, C ≈ 0.6981.

Grados ↔ radianes

Escribe en cualquiera de los dos. En radianes puedes usar π: 3π/4, pi/6.

Grados°Radianesrad

135° · π180 = 3π4 rad ≈ 2.3562 rad

Paso a paso

Lado c con ley de cosenos
c² = a² + b² − 2ab cos C
c² = 5² + 7² − 2(5)(7) cos 40°
c² = 74 − 70(0.766) = 20.3769
c = √20.3769 ≈ 4.51
Ángulo A con ley de cosenos
cos A = b² + c² − a²2bc
cos A = 7² + 4.51² − 5²2(7)(4.51) = 0.7022
A = arccos(0.7022) ≈ 45.4°
Con coseno no hay confusión aunque el ángulo sea obtuso; con senos sí podría haberla.
Tercer ángulo: los tres suman 180°
B = 180° − A − C = 180° − 45.4° − 40° = 94.6°
De paso, el área
Área = 12ab sen C = 12(5)(7) sen 40° ≈ 11.25

Funciones trigonométricas3 fórmulas

y = A sen(Bx + C) + DForma general
amplitud = |A|,periodo = 2π|B|,desfase = −CBD sube o baja la gráfica
tan x: periodo π, asíntotas en x = π2 + kπsen y cos: periodo 2π, rango [−1, 1]

Temario UNAM: módulos 9 a 14

Geometría analítica

Recta, circunferencia, parábola, elipse e hipérbola: las ecuaciones canónicas y de dónde sale cada elemento.

Puntos y recta11 fórmulas

d = (x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²Distancia entre dos puntos
M = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)Punto medio
x = x₁ + rx₂1 + r,y = y₁ + ry₂1 + rPunto que divide un segmento en la razón r
m = y₂ − y₁x₂ − x₁ = tan θPendiente
y − y₁ = m(x − x₁)Punto-pendiente
y = mx + bPendiente-ordenada (b: corte con el eje y)
Ax + By + C = 0,m = −ABGeneral
xa + yb = 1Simétrica (a y b: cortes con los ejes)
m₁ = m₂·m₁m₂ = −1Paralelas · perpendiculares
d = |Ax₁ + By₁ + C|A² + B²Distancia de un punto a una recta
tan θ = m₂ − m₁1 + m₁m₂Ángulo entre dos rectas

En un triángulo, las medianas se cortan en el baricentro (el promedio de los tres vértices), las mediatrices en el circuncentro y las alturas en el ortocentro.

Circunferencia2 fórmulas

Forma ordinaria

(x − h)² + (y − k)² = r²

(h, k): centro
r: radio

Con centro en el origen: x² + y² = r².

Forma general

x² + y² + Dx + Ey + F = 0

Centro (−D/2, −E/2) y radio r = √(h² + k² − F). Si h² + k² − F es negativo, no es una circunferencia.

Parábola4 fórmulas

y² = 4pxVértice en el origen, eje horizontal: foco (p, 0), directriz x = −p
x² = 4pyEje vertical: foco (0, p), directriz y = −p
(y − k)² = 4p(x − h)Vértice en (h, k), eje horizontal
(x − h)² = 4p(y − k)Vértice en (h, k), eje vertical

Lado recto: |4p|. Si p > 0 abre hacia la derecha (o hacia arriba); si p < 0, hacia la izquierda (o hacia abajo).

Elipse

Elipse con centro en (h, k), eje mayor horizontal

(x − h)²a² + (y − k)²b² = 1

a > b: a: semieje mayor; b: semieje menor (si a² está bajo la y, el eje mayor es vertical)
c² = a² − b²: c: distancia del centro a cada foco
e = c/a: excentricidad (entre 0 y 1)

Con centro en el origen: x²/a² + y²/b² = 1, focos (±c, 0), vértices (±a, 0). Lado recto: 2b²/a.

Hipérbola

Hipérbola con centro en (h, k), eje focal horizontal

(x − h)²a² − (y − k)²b² = 1

c² = a² + b²: aquí c² es la SUMA (en la elipse es la resta)
e = c/a: excentricidad (mayor que 1)
y = ±(b/a)x: asíntotas con centro en el origen

Si el término positivo es el de y (y²/a² − x²/b² = 1), el eje focal es vertical y las asíntotas son y = ±(a/b)x. Lado recto: 2b²/a.

Ecuación general de segundo grado

¿Qué cónica es?

Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0

B² − 4AC < 0: elipse (circunferencia si B = 0 y A = C)
B² − 4AC = 0: parábola
B² − 4AC > 0: hipérbola

Salvo casos degenerados (un punto, rectas o ninguna curva). Sin término xy: A = C es circunferencia; A y C con el mismo signo, elipse; uno de los dos igual a 0, parábola; signos contrarios, hipérbola.

Temario UNAM: módulos 15, 16 y 17

Cálculo

Límites, derivadas e integrales. Entra en las Áreas 1 y 2 de la UNAM y en CBI y CBS de la UAM (derivadas e integrales inmediatas).

Límites3 fórmulas

límx→0sen xx = 1Límite notable
límn→∞(1 + 1n)ⁿ = eEl número e ≈ 2.718
límx→∞P(x)Q(x)Grado de P menor: 0 · iguales: cociente de los coeficientes principales · mayor: no tiene límite finito

Si al sustituir sale 0/0, factoriza y simplifica (o racionaliza); si sale ∞/∞, divide todo entre la mayor potencia de x. Una función es continua en a si f(a) existe, el límite en a existe y los dos son iguales.

Derivadas11 fórmulas

f′(x) = límh→0f(x + h) − f(x)hDefinición
(c)′ = 0,(xⁿ)′ = nxⁿ⁻¹Constante y potencia
(u ± v)′ = u′ ± v′,(cu)′ = cu′
(uv)′ = u′v + uv′Producto
(uv)′ = u′v − uv′v²Cociente
[f(g(x))]′ = f′(g(x)) · g′(x)Regla de la cadena
(uⁿ)′ = nuⁿ⁻¹u′,(u)′ = u′2u
(sen u)′ = cos u · u′,(cos u)′ = −sen u · u′
(tan u)′ = sec²u · u′
(e^u)′ = e^uu′,(a^u)′ = a^u ln a · u′
(ln u)′ = u′u

Aplicaciones de la derivada4 fórmulas

y − f(x₀) = f′(x₀)(x − x₀)Recta tangente (la normal tiene pendiente −1/f′(x₀))
f′(x) = 0: f″ < 0 máximo,f″ > 0 mínimoMáximos y mínimos
f″(x) = 0 y cambia de signoPunto de inflexión
v(t) = s′(t),a(t) = v′(t) = s″(t)Velocidad y aceleración

Integrales8 fórmulas

∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹n + 1 + CCon n ≠ −1
∫ dxx = ln|x| + C
∫ e^x dx = e^x + C,∫ a^x dx = a^xln a + C
∫ sen x dx = −cos x + C,∫ cos x dx = sen x + C
∫ sec²x dx = tan x + C
∫ kf(x) dx = k∫ f(x) dxLas constantes salen
∫ u dv = uv − ∫ v duPor partes
∫ba f(x) dx = F(b) − F(a)Integral definida (F es una antiderivada de f)

Por sustitución: si ves una función y su derivada, haz u = g(x), du = g′(x) dx. La integral definida de una f positiva es el área bajo la curva entre a y b. Y no olvides la + C en las indefinidas.

El día del examen

Cómo usar el formulario el día del examen

En el examen no hay formulario: lo que no traigas en la cabeza no lo tienes. La buena noticia es que no hay que memorizarlo todo.

Llega sabiendo que no habrá formulario ni calculadora
En el examen de la UNAM están prohibidos los acordeones y las calculadoras; las operaciones se hacen a mano. Convocatoria DGAE
Memoriza las que no se pueden deducir
La fórmula general, sen²θ + cos²θ = 1, la tabla de ángulos notables, la ley de senos y la de cosenos, las derivadas e integrales básicas y la forma de cada cónica.
Deduce las demás
Las otras identidades pitagóricas salen de dividir la principal; la distancia entre dos puntos es Pitágoras; el área de un sector es una regla de tres con el círculo completo.
Resuelve primero en tu cuaderno y luego compara
Usa las calculadoras de arriba para revisar tu procedimiento paso por paso, no para saltártelo. Donde tu cuenta se separa de la de aquí, ahí está tu error.
En opción múltiple, a veces conviene sustituir
Probar las opciones puede ser más rápido que resolver: si x = 2 cumple 2x² − 3x − 2 = 0, esa es la respuesta y te ahorras la fórmula.

Deducir en vez de memorizar

¿No te acuerdas de 1 + tan²θ = sec²θ? Sale en dos renglones:

Empieza con la que sí sabes: sen²θ + cos²θ = 1
Divide todo entre cos²θ: sen²θcos²θ + cos²θcos²θ = 1cos²θ
Como sen/cos = tan y 1/cos = sec: tan²θ + 1 = sec²θ

Lo mismo con la distancia entre dos puntos: dibuja el triángulo rectángulo con catetos (x₂ − x₁) y (y₂ − y₁) y aplica Pitágoras: d = Δx² + Δy².

Errores comunes

Los que más puntos cuestan

(a + b)² no es a² + b²Falta el 2ab de en medio: (3 + 2)² = 25, no 13. Lo mismo con (a − b)².
√(a + b) no es √a + √b√(9 + 16) = √25 = 5, no 3 + 4 = 7. La raíz solo se reparte en productos y cocientes.
El signo de −b en la fórmula generalSi b = −3, entonces −b = 3. Escribe b entre paréntesis al sustituir: (−3)² = 9, no −9.
No voltear la desigualdadAl multiplicar o dividir entre un negativo, < se vuelve >. Sumar o restar no la cambia.
log(x + y) no es log x + log yLa suma de logaritmos es el logaritmo de un PRODUCTO: log x + log y = log(xy).
Confundir la c² de las cónicasEn la elipse c² = a² − b²; en la hipérbola c² = a² + b². Y en la integral indefinida, no olvides la + C.

Preguntas frecuentes

Dudas comunes

¿Para qué sirve formulario de matemáticas?

Las fórmulas que entran en el examen, con calculadoras paso a paso: fórmula general, sistemas 2×2, ley de senos y cosenos.

¿Cómo la uso?

Úsalo como consulta rápida mientras resuelves ejercicios: busca la fórmula o el dato que necesitas y repásalos hasta que no tengas que mirarlos.

¿Es gratis y necesito registrarme?

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¿Me sirve para el examen de la UNAM, el IPN o la UAM?

Sí. Matemáticas aparece en los exámenes de admisión de la UNAM, el IPN, la UAM, el ECOEMS y el EXANI, y esta práctica trabaja los temas que más se repiten. Para ver el temario exacto de tu examen, revisa su página.

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