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Círculo unitario y funciones trigonométricas

Gira el ángulo y mira el seno, el coseno y la tangente en el círculo y en sus gráficas, con los valores exactos de los ángulos notables.

Arrastra el punto P sobre el círculo. El radio mide 1: por eso la x de P es el coseno y la y es el seno.

θ = 150° = 5π6 rad

Cuadrante II · referencia 30°

sen θ: 12; ≈ 0.5
cos θ: −32; ≈ −0.866
tan θ: −33; ≈ −0.5774

sen²θ + cos²θ = (1/2)² + (−√3/2)² = 1 · en el II solo el seno es positivo.

150°

Las tres funciones de 0 a 2π

y = sen xsen 150° = 1/2

y = cos xcos 150° = −√3/2

y = tan xtan 150° = −√3/3

Practica

Ejercicios del círculo unitario

Valores exactos, signos por cuadrante, radianes y ángulo de referencia: se generan solos y cada uno trae su explicación.

0/0

Racha 0 · mejor 0

El método

Cómo usar el círculo unitario en el examen

No hace falta memorizar una tabla de 17 renglones: con dos triángulos y una regla de signos sacas cualquier ángulo notable en segundos.

Memoriza dos triángulos, no una tabla
El de 45° tiene catetos 1 y 1 e hipotenusa √2. El de 30° y 60° es medio triángulo equilátero: lados 1, √3 y 2. Abajo están dibujados.
En el círculo, x es el coseno y y es el seno
El punto del ángulo θ es P = (cos θ, sen θ), porque el radio mide 1. La tangente es y entre x: tan θ = sen θ / cos θ.
Ubica el cuadrante
I de 0° a 90°, II de 90° a 180°, III de 180° a 270° y IV de 270° a 360°. Si cae justo en un eje, lee el punto: (1, 0), (0, 1), (−1, 0) o (0, −1).
Saca el ángulo de referencia
Es el ángulo agudo con el eje x: en el II, 180° − θ; en el III, θ − 180°; en el IV, 360° − θ. Su valor es el mismo que el del primer cuadrante.
Pon el signo: Todas, Sen, Tan, Cos
En el I todas son positivas; en el II solo el seno; en el III solo la tangente; en el IV solo el coseno. El resto, negativas.

Ejemplo resuelto: cos 210°

¿Cuánto vale cos 210°? (sin calculadora)

210° está entre 180° y 270°: cuadrante III.
Ángulo de referencia: 210° − 180° = 30°.
Del triángulo de 30° y 60°: cos 30° = 32.
En el III solo la tangente es positiva: el coseno es negativo.

Resultado: cos 210° = −32 ≈ −0.866. De paso, sen 210° = −1/2 y tan 210° = √3/3. Pon 210° en el círculo de arriba y compruébalo.

De dónde salen

Los valores exactos salen de dos triángulos

En el triángulo de 45° la hipotenusa mide √2. Para que mida 1, como en el círculo, divide todo entre √2: cada cateto queda en 1/√2 = √22. Por eso sen 45° = cos 45° = √2/2 y tan 45° = 1.

En el de 30° y 60° la hipotenusa mide 2: divide entre 2 y los catetos quedan en 1/2 (frente al ángulo de 30°) y √3/2 (frente al de 60°). Así, sen 30° = cos 60° = 1/2 y sen 60° = cos 30° = √3/2.

A escala. En el círculo la hipotenusa mide 1: divide todos los lados entre √2 (el de 45°) o entre 2 (el de 30° y 60°).

Tabla

Seno, coseno y tangente de los ángulos notables

Toda la vuelta, de 0° a 360°, con el decimal debajo. Fíjate en el patrón: los valores se repiten y solo cambia el signo según el cuadrante.

Seno, coseno y tangente de los ángulos notables de 0° a 360°
Grados	Radianes	Cuadrante	sen	cos	tan
0°	0	eje	0	1	0
30°	π6	I	12≈ 0.5	32≈ 0.866	33≈ 0.5774
45°	π4	I	22≈ 0.7071	22≈ 0.7071	1
60°	π3	I	32≈ 0.866	12≈ 0.5	3≈ 1.7321
90°	π2	eje	1	0	no existe
120°	2π3	II	32≈ 0.866	−12≈ −0.5	−3≈ −1.7321
135°	3π4	II	22≈ 0.7071	−22≈ −0.7071	−1
150°	5π6	II	12≈ 0.5	−32≈ −0.866	−33≈ −0.5774
180°	π	eje	0	−1	0
210°	7π6	III	−12≈ −0.5	−32≈ −0.866	33≈ 0.5774
225°	5π4	III	−22≈ −0.7071	−22≈ −0.7071	1
240°	4π3	III	−32≈ −0.866	−12≈ −0.5	3≈ 1.7321
270°	3π2	eje	−1	0	no existe
300°	5π3	IV	−32≈ −0.866	12≈ 0.5	−3≈ −1.7321
315°	7π4	IV	−22≈ −0.7071	22≈ 0.7071	−1
330°	11π6	IV	−12≈ −0.5	32≈ 0.866	−33≈ −0.5774
360°	2π	eje	0	1	0

Identidades

Las identidades pitagóricas

Salen del mismo círculo: el punto (cos θ, sen θ) está a distancia 1 del origen, así que por Pitágoras x² + y² = 1.

La fundamental

sen²θ + cos²θ = 1

Es x² + y² = 1 con x = cos θ y y = sen θ.

Con tangente y secante

1 + tan²θ = sec²θ

Divide la fundamental entre cos²θ.

Con cotangente y cosecante

1 + cot²θ = csc²θ

Divide la fundamental entre sen²θ.

Tangente

tan θ = sen θcos θ

Por eso no existe donde cos θ = 0: en 90° y 270°.

Errores comunes

Lo que más puntos cuesta

Cambiar el seno por el cosenoEl coseno es la x (horizontal) y el seno es la y (vertical). sen 30° = 1/2, pero cos 30° = √3/2.
Olvidar el signo del cuadrantesen 210° no es 1/2: el ángulo de referencia es 30°, pero en el III el seno es negativo. sen 210° = −1/2.
Medir el ángulo de referencia contra el eje ySe mide siempre contra el eje x. El de 120° es 60° (180° − 120°), no 30°.
Decir que tan 90° vale 0 o 1tan 90° = sen 90° / cos 90° = 1/0: no existe. En la gráfica, ahí hay una asíntota.
Confundir 2π/3 con 3π/22π/3 = 120° y 3π/2 = 270°. Convierte cambiando π por 180°: 2 · 180°/3 = 120°.

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Preguntas frecuentes

Dudas comunes

¿Para qué sirve círculo unitario?

Gira el ángulo y mira seno, coseno y tangente en el círculo y en su gráfica; con los ángulos notables.

¿Cómo la uso?

Mueve los controles y mira cómo cambia la figura: ver el efecto de cada dato ayuda a entender el concepto y no solo a memorizarlo.

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