Cónicas interactivas: parábola, elipse, hipérbola y circunferencia
Mueve el centro y los parámetros y mira cómo cambian la curva, sus focos, su directriz y sus dos ecuaciones. O escribe una ecuación general y descubre qué cónica es.
Explorador de cónicas
- c (centro a foco)
- 4
- Excentricidad
- 0.8
- Lado recto
- 3.6
- Centro
- (1, 1)
- Vértices
- (−4, 1) y (6, 1)
- Focos
- (−3, 1) y (5, 1)
- Extremos del eje menor
- (1, −2) y (1, 4)
- Eje mayor
- y = 1, mide 2a = 10
- Eje menor
- mide 2b = 6
- Directrices
- x = −5.25 y x = 7.25
Identifica la cónica con A y C
9x2 + 25y2 − 18x − 50y − 191 = 0A = 9 y C = 25 tienen el mismo signo pero son distintos: es una elipse.
Agrupa las x con las x y las y con las y; pasa F al otro lado
(9x2 − 18x) + (25y2 − 50y) = 191Saca como factor el coeficiente de x² y el de y²
9(x2 − 2x) + 25(y2 − 2y) = 191Dentro de cada paréntesis el cuadrado tiene que quedar con coeficiente 1 para poder completarlo.
Completa el cuadrado
9(x2 − 2x + 1) + 25(y2 − 2y + 1) = 191 + 9 + 25La mitad de −2 es −1; al cuadrado, 1. Como ese paréntesis está multiplicado por 9, del otro lado sumas 9 · 1 = 9. La mitad de −2 es −1; al cuadrado, 1. Como ese paréntesis está multiplicado por 25, del otro lado sumas 25 · 1 = 25. Lo que sumas de un lado lo sumas del otro.
Escribe cada trinomio como binomio al cuadrado
9(x − 1)2 + 25(y − 1)2 = 225x² − 2hx + h² = (x − h)²: el número de adentro es la mitad del coeficiente de x, con su signo.
Divide entre 225 para que el lado derecho valga 1
9(x − 1)2225 + 25(y − 1)2225 = 225225(x − 1)225 + (y − 1)29 = 1Lee los elementos
centro (1, 1)a2 = 25 → a = 5b2 = 9 → b = 3El denominador mayor (a²) está bajo la x: el eje mayor es horizontal.
Ejercicios de cónicas tipo examen
Identificar la cónica, encontrar el foco y armar la ecuación de una circunferencia: lo que más se pregunta. Se generan solos y cada uno trae su explicación.
Cómo identificar una cónica por su ecuación general
En el examen la cónica casi siempre llega como Ax² + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Con mirar dos números sabes cuál es; con completar el cuadrado, dónde está.
- Revisa que no haya término xyEn el examen casi nunca aparece. Si lo hay (Bxy), la cónica está girada y se decide con B² − 4AC: negativo es elipse, cero es parábola y positivo es hipérbola.
- Mira solo A y C, los coeficientes de x² y y²A = C: circunferencia. Mismo signo pero distintos: elipse. Uno de los dos vale 0: parábola. Signos contrarios: hipérbola.
- Completa el cuadradoAgrupa las x con las x y las y con las y, saca como factor el coeficiente del cuadrado y suma la mitad del coeficiente lineal al cuadrado. Lo que sumas de un lado lo sumas del otro, multiplicado por el factor.
- Revisa que no sea degeneradaSi en la elipse o la circunferencia el lado derecho queda en 0, es un solo punto; si queda negativo, no hay ningún punto. En la hipérbola, un 0 da dos rectas que se cruzan.
- Lee los elementos en la forma ordinariaEn la elipse a² es el denominador mayor; en la hipérbola, el del término positivo. Luego c² = a² − b² (elipse) o c² = a² + b² (hipérbola), y la excentricidad es e = c/a.
¿Qué cónica es 4x² + 9y² − 16x + 18y − 11 = 0? Da su centro y sus semiejes.
Identifica la cónica con A y C
4x2 + 9y2 − 16x + 18y − 11 = 0A = 4 y C = 9 tienen el mismo signo pero son distintos: es una elipse.
Agrupa las x con las x y las y con las y; pasa F al otro lado
(4x2 − 16x) + (9y2 + 18y) = 11Saca como factor el coeficiente de x² y el de y²
4(x2 − 4x) + 9(y2 + 2y) = 11Dentro de cada paréntesis el cuadrado tiene que quedar con coeficiente 1 para poder completarlo.
Completa el cuadrado
4(x2 − 4x + 4) + 9(y2 + 2y + 1) = 11 + 16 + 9La mitad de −4 es −2; al cuadrado, 4. Como ese paréntesis está multiplicado por 4, del otro lado sumas 4 · 4 = 16. La mitad de 2 es 1; al cuadrado, 1. Como ese paréntesis está multiplicado por 9, del otro lado sumas 9 · 1 = 9. Lo que sumas de un lado lo sumas del otro.
Escribe cada trinomio como binomio al cuadrado
4(x − 2)2 + 9(y + 1)2 = 36x² − 2hx + h² = (x − h)²: el número de adentro es la mitad del coeficiente de x, con su signo.
Divide entre 36 para que el lado derecho valga 1
4(x − 2)236 + 9(y + 1)236 = 3636(x − 2)29 + (y + 1)24 = 1Lee los elementos
centro (2, −1)a2 = 9 → a = 3b2 = 4 → b = 2El denominador mayor (a²) está bajo la x: el eje mayor es horizontal.
Con a = 3 y b = 2: c = √(9 − 4) = √5 ≈ 2.24, así que los focos están en (2 ± √5, −1) y la excentricidad es √5/3 ≈ 0.75. Cárgala en la herramienta (pestaña Escribe la ecuación) y mírala dibujada.
Las 4 cónicas en una tabla
Con centro o vértice en (h, k). Si el centro está en el origen, quita h y k: (x − 0)² es x².
Circunferencia
Todos los puntos a la misma distancia r del centro.
(x − h)2 + (y − k)2 = r2- En la general
- A = C (los dos cuadrados con el mismo coeficiente).
- Elementos
- Centro (h, k) y radio r. Centro de la general: (−D/2, −E/2), con A = C = 1.
- Excentricidad
- e = 0
Parábola
Puntos a la misma distancia de un punto (el foco) y de una recta (la directriz).
(x − h)2 = 4p(y − k)(y − k)2 = 4p(x − h)- En la general
- Solo una variable al cuadrado: A = 0 o C = 0.
- Elementos
- Vértice (h, k); foco a p del vértice y directriz a p del otro lado; lado recto |4p|. La primera abre hacia arriba o abajo; la segunda, a los lados.
- Excentricidad
- e = 1
Elipse
La suma de las distancias a los dos focos es constante: 2a.
(x − h)2a2 + (y − k)2b2 = 1- En la general
- A y C con el mismo signo y distintos.
- Elementos
- a > b. El denominador mayor (a²) dice el eje mayor: bajo la x, horizontal; bajo la y, vertical. Vértices a ±a del centro, focos a ±c con c² = a² − b²; lado recto 2b²/a.
- Excentricidad
- e = ca, entre 0 y 1
Hipérbola
La diferencia de las distancias a los dos focos es constante: 2a.
(x − h)2a2 − (y − k)2b2 = 1- En la general
- A y C con signos contrarios.
- Elementos
- a² va bajo el término positivo (si es el de y, abre hacia arriba y abajo). Focos a ±c con c² = a² + b²; asíntotas y − k = ±(b/a)(x − h) (±(a/b) si es vertical); lado recto 2b²/a.
- Excentricidad
- e = ca, mayor que 1
Lo que más puntos cuesta en cónicas
- Confundir las dos c²En la elipse c² = a² − b²; en la hipérbola c² = a² + b². Si en una elipse te sale c mayor que a, usaste la de la hipérbola.
- El signo del centroEn (x + 3)² + (y − 2)² = 16 el centro es (−3, 2): dentro del paréntesis va con el signo cambiado. Y el radio es 4, no 16.
- Olvidar el factor al completar el cuadradoSi sumas 4 dentro de 9(x² − 4x + 4), del otro lado sumas 9 · 4 = 36, no 4.
- Usar 4p como si fuera pEn x² = 12y, 4p = 12 y p = 3: el foco está en (0, 3), no en (0, 12). El lado recto sí mide |4p| = 12.
- Leer el eje mayor por el ordenEn x²/9 + y²/25 = 1 el denominador mayor está bajo la y: la elipse es vertical aunque la x vaya primero.
Dudas comunes
¿Para qué sirve cónicas interactivas?
Mueve los parámetros y mira cómo cambian la cónica, sus elementos y su ecuación canónica y general.
¿Cómo la uso?
Mueve los controles y mira cómo cambia la figura: ver el efecto de cada dato ayuda a entender el concepto y no solo a memorizarlo.
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