Gráficas y asíntotas

Dos gráficas espejo

La gráfica de y = aˣ pasa por (0, 1) y tiene como asíntota horizontal el eje x (y = 0). Si a > 1 es creciente; si 0 < a < 1 es decreciente. La de y = log_a x pasa por (1, 0), tiene como asíntota vertical el eje y (x = 0) y es creciente si a > 1 y decreciente si 0 < a < 1. Ambas son simétricas respecto a la recta y = x. En una traslación de h unidades en x y k en y, las asíntotas se desplazan igual.

Ejemplo 1. y = 2^(x − 1) + 3 es la gráfica de 2ˣ desplazada una unidad a la derecha y tres hacia arriba. Su asíntota es y = 3 y el punto (0, 1) pasa a (1, 4): en efecto, 2⁰ + 3 = 4.

Ejemplo 2. y = log₂(x + 2) se desplaza dos unidades a la izquierda: asíntota x = −2 y el punto (1, 0) pasa a (−1, 0), pues log₂ 1 = 0.

Error típico. Mover la asíntota en la dirección contraria o no moverla. En (x + 2), la asíntota está en x = −2, no en x = 2. Otro: pensar que (1/2)ˣ es creciente. Con base menor que 1, (1/2)³ = 1/8 es menor que (1/2)² = 1/4: decrece.