Dominio y rango

Qué se puede introducir y qué se obtiene

La exponencial f(x) = aˣ, con a > 0 y a ≠ 1, tiene dominio ℝ y rango (0, ∞): nunca es cero ni negativa. El logaritmo f(x) = log_a x, su inversa, tiene dominio (0, ∞) y rango ℝ. Cuando hay transformaciones, el rango de la exponencial se desplaza con el término sumado (aˣ + k tiene rango (k, ∞)) y el dominio del logaritmo se determina exigiendo que el argumento sea positivo.

Ejemplos. f(x) = 2ˣ − 3: dominio ℝ, rango (−3, ∞). g(x) = log(x − 4): se exige x − 4 > 0, es decir, x > 4; dominio (4, ∞) y rango ℝ. h(x) = ln(x² − 9): se exige x² − 9 > 0, que se cumple si x < −3 o x > 3; dominio (−∞, −3) ∪ (3, ∞).

Error típico. Aceptar x = 4 en log(x − 4), que daría log 0, no definido. Resolver mal la desigualdad cuadrática, por ejemplo escribir x > 3 olvidando los negativos que también cumplen x² > 9: con x = −5, (−5)² − 9 = 16 > 0. Y afirmar que 2ˣ puede valer 0 o menos: 2ˣ siempre es positiva.