Métodos de solución (Regla de Cramer)

Cada incógnita es un cociente de determinantes

Para un sistema con matriz de coeficientes A y determinante D ≠ 0, cada incógnita es xᵢ = Dᵢ/D, donde Dᵢ es el determinante que resulta al reemplazar la columna i de A por la columna de términos independientes. Si D = 0, la regla no aplica: el sistema no tiene solución única. El determinante de 2×2 es ad − bc; el de 3×3 se calcula con la regla de Sarrus o por cofactores.

Ejemplo. 2x + y − z = 0, x − y + 2z = 9 y 3x + 2y + z = 7. El determinante del sistema es D = −10. Reemplazando la primera columna por (0, 9, 7) se obtiene Dx = −20; con la segunda, Dy = 10; con la tercera, Dz = −30. Entonces x = −20/−10 = 2, y = 10/−10 = −1 y z = −30/−10 = 3. Comprobación en la primera: 4 − 1 − 3 = 0.

Ventaja. Cramer permite calcular una sola incógnita sin resolver todo, útil si el examen pregunta únicamente por z.

Error típico. Sustituir la columna que no corresponde, o cometer un error de signo en Sarrus (los productos de la diagonal secundaria se restan). Si sale D = 0, revisa las cuentas antes de concluir que no hay solución única.