Sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas

Eliminar una variable dos veces

Un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas representa tres planos. Lo más frecuente es que se corten en un punto, pero también puede haber infinitas soluciones o ninguna. La estrategia general es usar dos pares de ecuaciones para eliminar la misma incógnita, lo que produce un sistema de 2×2; se resuelve este y se sustituye hacia atrás.

Ejemplo. x + y + z = 6 (1), 2x − y + z = 3 (2), x + 2y − z = 2 (3). Al sumar (1) y (3): 2x + 3y = 8. Al sumar (2) y (3): 3x + y = 5. De la segunda, y = 5 − 3x, y en la primera: 2x + 15 − 9x = 8, de modo que x = 1 y y = 2. En (1): z = 3. Solución: (1, 2, 3). Comprobación en las tres: 1 + 2 + 3 = 6, 2 − 2 + 3 = 3 y 1 + 4 − 3 = 2.

Estrategia. Elimina la variable que tenga coeficientes opuestos con menos trabajo. En este ejemplo era z, que aparece con +1, +1 y −1.

Error típico. Eliminar z entre (1) y (3) y luego eliminar otra variable entre (2) y (3), con lo que las dos ecuaciones resultantes no comparten las mismas incógnitas. Ambas ecuaciones deben quedar con las mismas dos incógnitas. Y no comprobar el resultado en las tres ecuaciones.