Teorema del residuo y del factor

Dividir sin dividir

Teorema del residuo: al dividir un polinomio P(x) entre x − a, el residuo es P(a). Teorema del factor: x − a es factor de P(x) si y solo si P(a) = 0. Para buscar candidatos a raíces enteras se prueban los divisores del término independiente.

Residuo. Al dividir 2x³ − x + 4 entre x + 1 el residuo es P(−1) = −2 + 1 + 4 = 3. Fíjate en que x + 1 = x − (−1).

Factorización. Para P(x) = x³ − 2x² − 5x + 6, los divisores de 6 son ±1, ±2, ±3, ±6. P(1) = 0, P(2) = −4, P(3) = 0 y P(−2) = 0. Entonces P(x) = (x − 1)(x − 3)(x + 2), que se comprueba multiplicando: (x² − 4x + 3)(x + 2) = x³ − 2x² − 5x + 6.

Error típico. Evaluar en el número equivocado: para dividir entre x + 2 se evalúa en −2, no en 2. También se confunde el residuo con el cociente. Y recuerda que cada raíz encontrada da un solo factor lineal: con una raíz, la factorización aún no está completa.