Binomio de Newton (a+b)^n, n∈ℕ

Potencias de un binomio sin multiplicar

El desarrollo de (a + b)ⁿ tiene n + 1 términos. Los coeficientes son los números combinatorios C(n, k) de la fila n del triángulo de Pascal; los exponentes de a bajan de n a 0 y los de b suben de 0 a n. El término general, que ocupa el lugar k + 1, es C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ.

Ejemplo 1. (x + 2)⁴ tiene coeficientes 1, 4, 6, 4, 1 y por lo tanto: x⁴ + 8x³ + 24x² + 32x + 16, pues cada coeficiente se multiplica por la potencia de 2 correspondiente (1, 2, 4, 8, 16).

Ejemplo 2. El cuarto término de (x − 3)⁵ corresponde a k = 3: C(5, 3) · x² · (−3)³ = 10 · (−27) x² = −270x².

Error típico. Usar k = 4 para el cuarto término: como el índice empieza en 0, el término número m corresponde a k = m − 1. También se pierde el signo: en (a − b)ⁿ, los términos con b elevado a una potencia impar son negativos y alternan los signos.