Límites

El límite es la idea que sostiene todo el cálculo: la derivada y la integral se definen con él. Pregunta qué valor se aproxima una función cuando la variable se acerca a un punto, sin importar qué pasa exactamente en el punto. Por eso conviene tratarlo como un tema de técnica y de interpretación a la vez.

Qué debes dominar

• Concepto intuitivo: acercarse por ambos lados y reconocer cuándo el límite existe y cuándo no.
• Definición formal: el lenguaje de ε y δ y cómo se usa para comprobar un límite sencillo.
• Teoremas sobre límites: límite de una suma, un producto, un cociente y una potencia.
• Obtención de límites: sustitución directa, factorización y racionalización.
• Formas indeterminadas: 0/0, ∞/∞ y compañía, y qué hacer con cada una, incluidos los límites al infinito.
• Continuidad: las tres condiciones en un punto y su extensión a un intervalo.

Cómo practicarlo

Muchos reactivos son de cálculo directo: aparece un cociente cuyo numerador y denominador se hacen cero en el punto, y la respuesta se obtiene factorizando o racionalizando. Otro bloque se plantea con funciones por tramos y pide el valor de una constante que haga la función continua, o decide en qué puntos es discontinua. También puede aparecer un reactivo gráfico: se da una curva y se pregunta por un límite lateral.

En los límites al infinito el criterio práctico es comparar los grados del numerador y del denominador, y quedarse con los términos de mayor grado.

Errores comunes

• Sustituir y concluir que el límite es el valor de la función aunque la función no esté definida en ese punto.
• Interpretar 0/0 como 0, como 1 o como «no existe»: es una forma indeterminada que pide trabajo previo.
• Aplicar el teorema del cociente cuando el límite del denominador es cero.
• Pensar que si existe el límite la función es continua; también hace falta que la función esté definida y que su valor coincida con el límite.