Hipérbola

La hipérbola es la cónica con dos ramas separadas, y a diferencia de la elipse sus focos quedan hacia afuera de los vértices. Se estudia con los mismos parámetros a, b y c, pero con otra relación entre ellos y con un elemento extra, las asíntotas, que la elipse no tiene. La confusión entre ambas es la fuente de error más frecuente.

Qué debes dominar

• Lugar geométrico: la diferencia en valor absoluto de las distancias a los focos es constante, 2a.
• Parámetros a, b y c: aquí c es el mayor, c² = a² + b², y la excentricidad es mayor que 1.
• Centro en el origen: las dos orientaciones, en las que el signo menos separa el término positivo.
• Centro fuera del origen: forma ordinaria con (h, k) y forma general.
• Elementos: vértices, focos, eje transverso, eje conjugado, asíntotas y lado recto.

Cómo practicarlo

Un tipo de reactivo pide las asíntotas, que son lo que más distingue a esta cónica: se da la ecuación y se pide la ecuación de una de las rectas, o se dan las asíntotas y un dato más para reconstruir la hipérbola. También se pregunta por los focos, los vértices o la excentricidad.

Cuando la ecuación viene en forma general, con coeficientes de x² y y² de signo contrario, hay que completar cuadrados y dejar 1 en el lado derecho antes de leer los parámetros.

Errores comunes

• Aplicar a² = b² + c² (la relación de la elipse) en vez de c² = a² + b².
• Pensar que a es el mayor denominador: en la hipérbola a² está bajo el término positivo, sea mayor o no.
• Intercambiar a y b en las pendientes de las asíntotas, sobre todo cuando la hipérbola es vertical.
• Olvidar el valor absoluto en la definición, con lo que se pierde una de las dos ramas.