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Guía gratis: Matemáticas — UNAM Área III

Guía de estudio gratuita de Matemáticas para el examen de la UNAM, Área III: 14 temas con fórmulas, ejemplos resueltos, errores comunes y comprobaciones, un simulacro de 20 reactivos con su hoja de respuestas, plan de estudio y acordeón.

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Qué incluye

Lo que te llevas en el PDF

Repasa el temario completo con ejemplos resueltos y práctica tipo examen.

43 páginas
14 temas
simulacro de 20 reactivos con explicación
30 reactivos de comprobación
acordeón de repaso
plan de estudio

Cómo usarla

Sigue el orden de los temas: el álgebra sostiene a las funciones, a la trigonometría y a la geometría analítica.
Lee cada tema con lápiz en mano. Intenta los ejemplos tapando los pasos, subraya la clave y revisa el ojo.
Resuelve la comprobación del final de cada tema antes de mirar sus respuestas.
Haz el simulacro con reloj, califícalo con la hoja de respuestas y repasa el tema que indica cada reactivo que fallaste.
La noche anterior repasa el acordeón: sirve para recordar fórmulas, no para aprenderlas por primera vez.

Temario

Temas de la guía

Matemáticas es una de las materias del examen de tu área. Esta guía agrupa los 14 módulos del curso en 14 temas y recorre cuatro bloques: álgebra, funciones, trigonometría y geometría analítica. La prioridad de la tabla sigue el número de lecciones y cuánto se apoyan los demás temas en cada uno; es una recomendación de estudio, no un conteo oficial de reactivos.

Tema 1Prioridad alta
Números reales y complejos
Signos, fracciones, exponentes e $i$ están en todos los demás temas.
Signos, fracciones, exponentes y la unidad imaginaria $i$ sostienen todo el examen: leer una tabla de datos, plantear una ecuación o simplificar una fórmula exige operar sin errores de signo.
Lo esencial: Un exponente negativo invierte la base y un exponente fraccionario es una raíz. En los complejos todo sale de una sola regla: $i^2=-1$ .
Tema 2Prioridad alta
Expresiones algebraicas y radicales
Reducir, multiplicar y racionalizar es la herramienta de simplificar.
Una expresión algebraica combina números y letras: es el idioma de las fórmulas de costos, ingresos o proporciones. Operar con ellas es reducir términos semejantes, aplicar exponentes y manejar radicales con orden.
Lo esencial: Solo se suman términos semejantes. Al multiplicar se suman exponentes; al dividir se restan; un radical es un exponente fraccionario.
Tema 3Prioridad alta
Productos notables y factorización
Factorizar abre ecuaciones y fracciones algebraicas.
Los productos notables son atajos para multiplicar; factorizar es recorrerlos al revés. Con ellos simplificas fracciones algebraicas, resuelves ecuaciones y encuentras raíces de polinomios.
Lo esencial: Factorizar es deshacer un producto. Y si $P(a)=0$ , entonces $(x-a)$ es factor de $P(x)$ .
Tema 4Prioridad alta
Ecuaciones y desigualdades
Despejar y plantear problemas escritos aparece en casi todo.
Resolver una ecuación es despejar la incógnita con las propiedades de la igualdad; una desigualdad se resuelve igual, con una regla extra sobre los signos. Con ellas se plantean problemas de costos, edades y repartos.
Lo esencial: Despejar es deshacer las operaciones en orden inverso. Con desigualdades hay una excepción: multiplicar o dividir entre un negativo invierte el signo.
Tema 5Prioridad media
Sistemas de ecuaciones
Dos y tres incógnitas: eliminación y regla de Cramer.
Un sistema junta varias ecuaciones que se cumplen a la vez. Sirve cuando un problema tiene dos o tres cantidades desconocidas: precios, boletos vendidos, grupos de una encuesta.
Lo esencial: Con dos incógnitas, elimina una para volver a una sola ecuación. Y si $D\neq0$ , el sistema tiene una única solución.
Tema 6Prioridad media
Funciones algebraicas
Dominio, rango y composición, base del resto.
Una función es una regla que asigna a cada entrada una sola salida: así se modelan costos, ingresos o poblaciones. Su dominio, su rango y su comportamiento son la base de la trigonometría y de la geometría analítica.
Lo esencial: El dominio es lo que puedes meter en la función y el rango es lo que sale.
Tema 7Prioridad media
Trigonometría: triángulos
Razones y leyes de senos y cosenos para resolver triángulos.
La trigonometría relaciona los ángulos y los lados de un triángulo. Con tres herramientas puedes resolver cualquiera: las razones, la ley de los senos y la ley de los cosenos.
Lo esencial: Seno, coseno y tangente son cocientes de lados: elige la razón que contenga el dato que tienes y el que buscas. Si el triángulo no es rectángulo, usa senos o cosenos.
Tema 8Prioridad alta
Funciones trigonométricas
Es el módulo con más lecciones (8): círculo, gráficas, periodo.
El círculo trigonométrico extiende las razones a cualquier ángulo y define seno, coseno y tangente como funciones periódicas: las que describen fenómenos que se repiten, como las estaciones del año.
Lo esencial: Seno y coseno son las coordenadas del punto en el círculo unitario: valen entre $-1$ y $1$ y se repiten cada $2\pi$ .
Tema 9Base
Exponenciales y logaritmos
Solo 2 lecciones, pero las propiedades de los logaritmos se usan mucho.
La exponencial describe crecimientos y decaimientos, como el de una población; el logaritmo es su inversa y sirve para despejar exponentes. Se leen por su dominio, su rango y su asíntota.
Lo esencial: El logaritmo es la inversa de la exponencial: sus gráficas son simétricas respecto de $y=x$ y el dominio de una es el rango de la otra.
Tema 10Prioridad alta
La recta
Es la base de toda la geometría analítica (7 lecciones).
La geometría analítica describe figuras con ecuaciones. La recta es la base: de su pendiente salen las ecuaciones, el paralelismo, la perpendicularidad y las distancias; también modela cualquier crecimiento constante.
Lo esencial: La pendiente manda: paralelas comparten pendiente, perpendiculares la tienen inversa y de signo contrario, y de ella sale cualquier forma de la ecuación.
Tema 11Prioridad media
La circunferencia
Primera cónica; completar cuadrados se repite en las demás.
Es la primera cónica y la más sencilla: todos sus puntos están a la misma distancia del centro. De esa condición salen su ecuación y todos sus elementos.
Lo esencial: En $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ el centro se lee con el signo contrario al que aparece, y el lado derecho es $r^2$ , no $r$ .
Tema 12Prioridad media
La parábola
Foco, directriz y $p$ en dos orientaciones.
La parábola es la curva de un lanzamiento y la de una antena parabólica. Se define por un foco y una directriz, y toda su ecuación se resume en el valor de $p$ .
Lo esencial: El coeficiente de la letra que no está elevada al cuadrado es $4p$ . De $p$ salen el foco, la directriz y el lado recto.
Tema 13Prioridad media
Elipse e hipérbola
Dos cónicas en 10 lecciones; no mezcles sus relaciones.
La elipse es un círculo alargado y la hipérbola tiene dos ramas abiertas. Se parecen en todo menos en un signo, y ese signo cambia la relación entre $a$ , $b$ y $c$ .
Lo esencial: En la elipse $c^2=a^2-b^2$ ; en la hipérbola $c^2=a^2+b^2$ y $a^2$ va bajo el término positivo.
Tema 14Base
Ecuación general de segundo grado
Clasifica y traslada: se apoya en los cuatro temas anteriores.
Las cuatro cónicas caben en una sola ecuación. Un criterio con los coeficientes dice cuál es, y trasladar los ejes la lleva a su forma más sencilla.
Lo esencial: El signo de $B^2-4AC$ decide: negativo, elipse; cero, parábola; positivo, hipérbola.

Adelanto

Un ejemplo resuelto

Así se trabaja en la guía. Este es del tema «Números reales y complejos».

En una encuesta, $\frac{3}{5}$ de las personas son mujeres y $\frac{1}{4}$ de ellas trabaja por cuenta propia. ¿Qué fracción del total son mujeres que trabajan por cuenta propia? Después simplifica $\left(\dfrac{27}{64}\right)^{-2/3}\cdot 16^{3/4}$ .

«Una fracción de otra» se multiplica: $\frac{3}{5}\cdot\frac{1}{4}=\frac{3}{20}$ .
El exponente negativo invierte la base: $\left(\frac{64}{27}\right)^{2/3}=\left(\sqrt[3]{\tfrac{64}{27}}\right)^2=\left(\frac{4}{3}\right)^2=\frac{16}{9}$ .
$16^{3/4}=\left(\sqrt[4]{16}\right)^3=2^3=8$ .
Multiplica: $\frac{16}{9}\cdot8=\frac{128}{9}$ .

Respuesta: $\dfrac{3}{20}$ del total; $\dfrac{128}{9}$

Plan de estudio

Cómo organizarte

Tres semanas con cuatro sesiones de una hora cada una cubren toda la guía. Si te sobra tiempo, repite el simulacro al final.

Semana 1

Álgebra (temas 1 a 5).

Sesión 1: Temas 1 y 2: lee, rehaz los ejemplos sin ver los pasos y resuelve sus comprobaciones.
Sesión 2: Tema 3: productos notables y factorización. Después, reactivos 1 a 4 del simulacro.
Sesión 3: Tema 4: ecuaciones y desigualdades; practica plantear problemas escritos.
Sesión 4: Tema 5: sistemas y Cramer; repaso de los errores de la semana y reactivos 5 a 8 del simulacro.

Semana 2

Funciones, trigonometría y recta (temas 6 a 10).

Sesión 1: Tema 6 y tema 7: dominio, rango, composición y resolución de triángulos.
Sesión 2: Tema 8: aprende la tabla de 30°, 45° y 60° y los signos por cuadrante; reactivos 9 a 12.
Sesión 3: Tema 9: logaritmos, y reactivos 13 y 14 del simulacro.
Sesión 4: Tema 10: la recta, con sus fórmulas de distancia y pendiente; reactivo 15.

Semana 3

Cónicas y simulacro completo (temas 11 a 14).

Sesión 1: Temas 11 y 12: circunferencia y parábola; practica completar cuadrados.
Sesión 2: Tema 13: elipse e hipérbola, cuidando $c^2=a^2\mp b^2$ ; reactivos 16 a 19.
Sesión 3: Tema 14: ecuación general; reactivo 20. Copia el acordeón con tu letra.
Sesión 4: Simulacro completo con reloj, calificación con la hoja y repaso de los temas que fallaste.

Toda la guía, con el simulacro y sus respuestas, está en el PDF de arriba.

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