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Guía gratis: Matemáticas — UNAM Área I

Guía de estudio gratuita de Matemáticas para el examen de la UNAM, Área I: 18 temas con fórmulas, ejemplos resueltos, errores comunes y comprobaciones, un simulacro de 19 reactivos con su hoja de respuestas, plan de estudio y acordeón.

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Qué incluye

Lo que te llevas en el PDF

Repasa el temario completo con ejemplos resueltos y práctica tipo examen.

59 páginas
18 temas
simulacro de 19 reactivos con explicación
48 reactivos de comprobación
acordeón de repaso
plan de estudio

Cómo usarla

Sigue el orden de los temas: el álgebra sostiene a la trigonometría, a la geometría analítica y al cálculo.
Lee cada tema con lápiz en mano. Intenta los ejemplos tapando los pasos, subraya la clave y revisa el ojo.
Resuelve la comprobación del final de cada tema antes de mirar sus respuestas.
Haz el simulacro con reloj, califícalo con la hoja de respuestas y repasa el tema que indica cada reactivo que fallaste.
La noche anterior repasa el acordeón: sirve para recordar fórmulas, no para aprenderlas por primera vez.

Temario

Temas de la guía

Matemáticas es una de las materias del examen de tu área y recorre cuatro bloques: álgebra, funciones y trigonometría, geometría analítica y cálculo. La prioridad de la tabla sigue el número de lecciones del curso y cuánto se apoyan los demás temas en cada uno; es una recomendación de estudio, no un dato oficial.

Tema 1Prioridad alta
Números reales y complejos
Signos, fracciones, exponentes e $i$ : están en todos los demás temas.
Todo lo demás se apoya en esto: signos, fracciones, exponentes y la unidad imaginaria $i$ . Un error de signo aquí se arrastra hasta el último paso del problema.
Lo esencial: Un exponente negativo invierte la base y un exponente fraccionario es una raíz. En los complejos todo sale de una sola regla: $i^2=-1$ .
Tema 2Prioridad alta
Expresiones algebraicas y radicales
Reducir, multiplicar y racionalizar es la herramienta de simplificar.
Una expresión algebraica combina números y letras con operaciones. Operar con ellas es reducir términos semejantes, aplicar las leyes de los exponentes y manejar radicales sin saltarte reglas.
Lo esencial: Solo se suman términos semejantes. Al multiplicar se suman exponentes; al dividir se restan; un radical es un exponente fraccionario.
Tema 3Prioridad alta
Productos notables y factorización
Factorizar abre ecuaciones, fracciones y límites.
Los productos notables son atajos para multiplicar; factorizar es recorrerlos al revés. Con ellos simplificas fracciones, resuelves ecuaciones y encuentras raíces de polinomios.
Lo esencial: Factorizar es deshacer un producto. Y si $P(a)=0$ , entonces $(x-a)$ es factor de $P(x)$ .
Tema 4Prioridad alta
Ecuaciones, desigualdades y sistemas
Son 8 lecciones y aparecen como paso intermedio en casi todo.
Resolver una ecuación es despejar la incógnita con las propiedades de la igualdad; una desigualdad se resuelve igual, con una regla extra sobre los signos; un sistema junta varias ecuaciones que se cumplen a la vez.
Lo esencial: Despejar es deshacer las operaciones en orden inverso; con desigualdades hay una excepción: multiplicar o dividir entre un negativo invierte el signo. Y si $D\neq0$ , el sistema tiene una sola solución.
Tema 5Prioridad media
Funciones algebraicas
Dominio, rango y composición preparan trigonometría y cálculo.
Una función es una regla que asigna a cada entrada una sola salida. Su dominio, su rango y su comportamiento son la base de la trigonometría, la geometría analítica y el cálculo.
Lo esencial: El dominio es lo que puedes meter en la función y el rango es lo que sale.
Tema 6Prioridad media
Trigonometría: triángulos
Razones y leyes de senos y cosenos para resolver triángulos.
La trigonometría relaciona los ángulos y los lados de un triángulo. Con tres herramientas puedes resolver cualquiera.
Lo esencial: Seno, coseno y tangente son cocientes de lados: elige la razón que contenga el dato que tienes y el que buscas. Si el triángulo no es rectángulo, cosenos o senos.
Tema 7Prioridad alta
Funciones trigonométricas
Es el tema con más lecciones del curso (8): círculo, gráficas, periodo.
El círculo trigonométrico extiende las razones a cualquier ángulo y define seno, coseno y tangente como funciones periódicas.
Lo esencial: Seno y coseno son las coordenadas del punto en el círculo unitario: valen entre $-1$ y $1$ y se repiten cada $2\pi$ .
Tema 8Base
Exponenciales y logaritmos
Solo 2 lecciones, pero las propiedades de los logaritmos se usan en cálculo.
La exponencial describe crecimientos y decaimientos; el logaritmo es su inversa y sirve para despejar exponentes. Se leen por su dominio, su rango y su asíntota.
Lo esencial: El logaritmo es la inversa de la exponencial: sus gráficas son simétricas respecto de $y=x$ y el dominio de una es el rango de la otra.
Tema 9Prioridad alta
La recta
Es la base de toda la geometría analítica (7 lecciones).
La geometría analítica describe figuras con ecuaciones. La recta es la base: de su pendiente salen las ecuaciones, el paralelismo, la perpendicularidad y las distancias.
Lo esencial: La pendiente manda: paralelas comparten pendiente, perpendiculares la tienen inversa y de signo contrario, y de ella sale cualquier forma de la ecuación.
Tema 10Prioridad media
La circunferencia
Primera cónica; completar cuadrados se repite en las demás.
Es la primera cónica y la más sencilla: todos sus puntos están a la misma distancia del centro. De esa condición salen su ecuación y todos sus elementos.
Lo esencial: En $(x-h)^2+(y-k)^2=r^2$ el centro se lee con el signo contrario al que aparece, y el lado derecho es $r^2$ , no $r$ .
Tema 11Prioridad media
La parábola
Foco, directriz y $p$ ; ecuaciones en dos orientaciones.
La parábola es la curva de un lanzamiento y de los espejos de un faro. Se define por un foco y una directriz, y toda su ecuación se resume en el valor de $p$ .
Lo esencial: El coeficiente de la letra que no está elevada al cuadrado es $4p$ . De $p$ salen el foco, la directriz y el lado recto.
Tema 12Prioridad media
La elipse
Relación $c^2=a^2-b^2$ , excentricidad y ecuación general.
La elipse es un círculo alargado. Todo se resume en tres números, $a$ , $b$ y $c$ , ligados por una relación pitagórica.
Lo esencial: $a^2$ es el denominador mayor y va bajo la variable del eje focal; además, $c^2=a^2-b^2$ .
Tema 13Prioridad media
La hipérbola
Relación $c^2=a^2+b^2$ y asíntotas.
La hipérbola se parece a la elipse, pero con una resta: tiene dos ramas que se abren y se acercan a dos asíntotas. Cambia un signo y cambia la relación entre $a$ , $b$ y $c$ .
Lo esencial: La hipérbola lleva una resta, $a^2$ va bajo el término positivo y $c^2=a^2+b^2$ : el foco queda fuera del vértice.
Tema 14Base
Ecuación general de segundo grado
Clasifica y traslada: se apoya en los cuatro temas anteriores.
Las cuatro cónicas caben en una sola ecuación. Un criterio con los coeficientes dice cuál es, y trasladar los ejes la lleva a su forma más sencilla.
Lo esencial: El signo de $B^2-4AC$ decide: negativo, elipse; cero, parábola; positivo, hipérbola.
Tema 15Prioridad alta
Límites y continuidad
Es el cimiento de la derivada y la integral.
El límite describe a qué valor se acerca una función cuando la variable se acerca a un punto. Es la idea sobre la que se construyen la derivada y la integral.
Lo esencial: Un límite dice a dónde se acerca la función, no cuánto vale en el punto. Si sale $\frac00$ , casi siempre se puede simplificar y sí hay respuesta.
Tema 16Prioridad alta
La derivada y sus reglas
Reglas de derivación: se usan en todo el cálculo posterior.
La derivada mide qué tan rápido cambia una función. Con unas cuantas reglas se obtiene sin tocar el límite, y es la herramienta de toda la parte de cálculo del examen.
Lo esencial: Deriva de afuera hacia adentro: la derivada de la función exterior evaluada en lo de adentro, por la derivada de lo de adentro. Y en implícitas, cada $y$ trae su $y'$ .
Tema 17Prioridad alta
Aplicaciones de la derivada
Tangentes, extremos y optimización (7 lecciones).
La derivada da la pendiente de la tangente y la rapidez de cambio; con su signo y el de la segunda derivada se encuentran máximos, mínimos y puntos de inflexión, y se resuelven problemas de optimización.
Lo esencial: Los puntos críticos salen de $f'=0$ ; el signo de $f''$ dice si son máximos o mínimos. En un intervalo cerrado, compara también los extremos.
Tema 18Prioridad alta
La integral
Cierra el cálculo: integrales inmediatas, métodos y definida.
Integrar es el camino de regreso de derivar: de la rapidez de cambio se recupera la cantidad. La integral definida, además, mide el área bajo una curva.
Lo esencial: Integrar es derivar al revés: compruébalo derivando. En la definida se evalúa $F(b)-F(a)$ , sin constante.

Adelanto

Un ejemplo resuelto

Así se trabaja en la guía. Este es del tema «Números reales y complejos».

Simplifica $\left(\dfrac{1}{8}\right)^{-2/3}\cdot 9^{3/2}$ .

El exponente negativo invierte la base: $\left(\frac{1}{8}\right)^{-2/3}=8^{2/3}$ .
$8^{2/3}=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2=2^2=4$ .
$9^{3/2}=\left(\sqrt{9}\right)^3=3^3=27$ .
Multiplica: $4\cdot27=108$ .

Respuesta: $108$

Plan de estudio

Cómo organizarte

Tres semanas con cuatro sesiones de una hora cada una cubren toda la guía. Si te sobra tiempo, repite el simulacro al final.

Semana 1

Álgebra y funciones (temas 1 a 5).

Sesión 1: Temas 1 y 2: lee, rehaz los ejemplos sin ver los pasos y resuelve sus comprobaciones.
Sesión 2: Tema 3: productos notables y factorización. Después, reactivos 1 a 3 del simulacro.
Sesión 3: Tema 4: ecuaciones, desigualdades y sistemas, que lleva más tiempo (cuatro páginas).
Sesión 4: Tema 5 y repaso de los errores de la semana; reactivos 4 a 6 del simulacro.

Semana 2

Trigonometría y geometría analítica (temas 6 a 14).

Sesión 1: Temas 6 y 7: aprende la tabla de 30°, 45° y 60° y los signos por cuadrante.
Sesión 2: Temas 8 y 9: logaritmos y la recta; reactivos 7 a 10 del simulacro.
Sesión 3: Temas 10 a 12: circunferencia, parábola y elipse; practica completar cuadrados.
Sesión 4: Temas 13 y 14: hipérbola y ecuación general; reactivos 11 a 15 del simulacro.

Semana 3

Cálculo y simulacro completo (temas 15 a 18).

Sesión 1: Temas 15 y 16: límites, continuidad y reglas de derivación.
Sesión 2: Tema 17: tangente, extremos y optimización; reactivos 16 y 17 del simulacro.
Sesión 3: Tema 18: integrales; reactivos 18 y 19. Copia el acordeón con tu letra.
Sesión 4: Simulacro completo con reloj, calificación con la hoja y repaso de los temas que fallaste.

Toda la guía, con el simulacro y sus respuestas, está en el PDF de arriba.

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