Ecuación, identidad y propiedades de la igualdad

Qué se puede hacer a ambos lados

Una ecuación es una igualdad que se cumple solo para ciertos valores de la incógnita, como x + 1 = 3. Una identidad se cumple para todos los valores donde está definida, como (x + 1)² = x² + 2x + 1. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Se obtienen ecuaciones equivalentes sumando o restando una misma cantidad a ambos lados, o multiplicando o dividiendo ambos lados por un número distinto de cero.

Casos extremos. 3x + 1 = 3x + 5 se reduce a 1 = 5, sin solución. 2(x + 3) = 2x + 6 se reduce a 0 = 0: es una identidad y cualquier valor la satisface.

Solución extraña. Resolver √(x + 2) = x: al elevar al cuadrado, x + 2 = x² y x = 2 o x = −1. Al sustituir, x = 2 sí cumple (√4 = 2) y x = −1 no (√1 = 1, pero 1 ≠ −1).

Error típico. Dividir ambos lados entre una expresión con la incógnita: de (x − 2)(x − 5) = 3(x − 2), dividir entre x − 2 deja x = 8 y pierde x = 2. Elevar al cuadrado, en cambio, puede añadir soluciones falsas, así que hay que verificar siempre.