Ecuación general de segundo grado

Después de ver cada cónica por separado, este tema las reúne bajo una sola ecuación de segundo grado en dos variables y enseña a reconocer cuál es sin graficarla. Es el tema que conecta circunferencia, parábola, elipse e hipérbola, y por eso un solo reactivo puede mezclar los cuatro.

Qué debes dominar

• Las cónicas: cómo salen de cortar un cono con un plano, y cuáles son los casos degenerados.
• La ecuación general: qué significa cada coeficiente y cómo llevarla a forma ordinaria completando cuadrados.
• Criterios de identificación: el signo de B² − 4AC, y los atajos cuando no hay término xy.
• Traslación de ejes: cambiar el origen para eliminar los términos lineales y simplificar la ecuación.

Cómo practicarlo

El reactivo más típico da una ecuación como 2x² − y² + 4 = 0 y pregunta qué curva representa: se resuelve revisando los coeficientes de x² y y², sin dibujar. Otro tipo pide, dada la ecuación, las coordenadas del centro o del vértice, lo que exige completar cuadrados o trasladar los ejes. También se pregunta por las coordenadas de un punto después de trasladar el origen.

Conviene tener presente que no toda ecuación de segundo grado representa una curva: si al completar cuadrados el lado derecho sale cero o negativo, hay un punto o ningún punto real.

Errores comunes

• Llamar circunferencia a toda ecuación con x² y y² del mismo signo; además debe cumplirse A = C.
• Confundir los criterios de la parábola y la hipérbola cuando falta una de las variables al cuadrado.
• Trasladar los ejes con el signo contrario: si el nuevo origen es (h, k), entonces x′ = x − h, y′ = y − k.
• No revisar el lado derecho después de completar cuadrados, con lo que se aceptan curvas que no existen.