Funciones exponenciales y logarítmicas

Las funciones exponenciales y logarítmicas describen fenómenos de crecimiento y decaimiento: poblaciones, interés compuesto, desintegración radiactiva, escalas de pH o de magnitud sísmica. En el temario de la UNAM este tema se centra en dos habilidades: reconocer qué valores de x puede recibir cada función y con qué valores responde (dominio y rango), y leer o trazar sus gráficas con atención a las asíntotas.

Qué debes dominar

• Dominio y rango: la exponencial f(x) = aˣ acepta cualquier x y solo da resultados positivos; el logaritmo recibe solo argumentos positivos y puede dar cualquier real. Con transformaciones, estos conjuntos se desplazan.
• Gráficas y asíntotas: puntos fijos, crecimiento o decrecimiento según la base, asíntota horizontal de la exponencial, asíntota vertical del logaritmo y relación de simetría entre ambas.

Ambas funciones son inversas: lo que una hace, la otra lo deshace, y por eso el dominio de una es el rango de la otra y sus gráficas son simétricas respecto de la recta y = x.

Cómo practicarlo

Se da la expresión de una función transformada y se pide su dominio, su rango o la ecuación de su asíntota; o bien se muestra una gráfica y se pregunta qué ecuación le corresponde. La estrategia útil es partir de la función básica (2ˣ, log₂ x), localizar su asíntota y su punto característico ((0, 1) en la exponencial, (1, 0) en el logaritmo) y aplicar la traslación indicada. Cuando la base está entre 0 y 1, la gráfica baja en lugar de subir: es una distinción que las opciones suelen explotar.

Errores comunes

• Permitir argumentos negativos o cero en un logaritmo.
• Creer que la exponencial toca el eje x: lo toma como asíntota, sin llegar a cortarlo.
• No desplazar la asíntota cuando la función se traslada.
• Confundir el comportamiento de bases mayores y menores que 1.