Cálculo Integral

El cálculo integral hace el camino inverso al de la derivada: dada la razón de cambio de una cantidad, recupera la cantidad. En este tema del IPN se estudia en dos usos relacionados, la antiderivada (integral indefinida) y el cálculo de áreas con la integral definida. Para trabajarlo con comodidad se necesita dominar bien las reglas de derivación, porque integrar consiste, en buena parte, en reconocer de qué función viene la que tienes delante.

Subtemas para estudiar

• Integral indefinida: antiderivada de potencias, de sumas y de funciones trigonométricas, exponenciales y 1/x básicas.
• Constante de integración: por qué aparece y cómo se determina con una condición inicial.
• Integral definida y teorema fundamental: evaluar F(b) − F(a).
• Métodos sencillos: cambio de variable (sustitución) en casos directos.
• Aplicaciones: área bajo una curva y entre dos curvas.

Cómo practicarlo

Tres tipos de ejercicio sirven de práctica. Antiderivada inmediata, por ejemplo ∫(3x² + 2x) dx = x³ + x² + C, donde cada término se integra aumentando el exponente en uno y dividiendo entre el nuevo exponente. Integral definida: ∫ de 0 a 2 de x² dx = [x³/3] de 0 a 2 = 8/3, que es el área bajo la parábola en ese intervalo. Cambio de variable: en ∫ 2x(x² + 1)³ dx se toma u = x² + 1, con du = 2x dx, y queda (x² + 1)⁴/4 + C; al derivar el resultado se recupera el integrando, lo que sirve de verificación.

Con opciones múltiples, la verificación más rápida es derivar cada opción y ver cuál devuelve el integrando.

Errores comunes

• Omitir la constante C en una integral indefinida.
• Evaluar una integral definida como F(a) − F(b), con los límites invertidos.
• Integrar 1/x como x⁰/0 en lugar de ln|x|.
• No ajustar el factor constante al sustituir: si du = 2x dx pero el integrando solo tiene x dx, falta un 1/2.