Sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas

Dos condiciones, dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas tiene la forma a₁x + b₁y = c₁ y a₂x + b₂y = c₂. Cada ecuación es una recta, así que hay tres posibilidades: las rectas se cortan en un punto (solución única; sistema compatible determinado), son paralelas (sin solución; incompatible) o coinciden (infinitas soluciones; compatible indeterminado). Se distinguen comparando razones: si a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, hay solución única; si a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, no hay solución.

Planteamiento. Dos adultos y tres niños pagan 340 pesos; un adulto y dos niños, 200. Con a el boleto de adulto y n el de niño: 2a + 3n = 340 y a + 2n = 200. De la segunda, a = 200 − 2n. Entonces 400 − 4n + 3n = 340, n = 60 y a = 80. Comprobación: 160 + 180 = 340 y 80 + 120 = 200.

Sin solución. x + y = 2 y 2x + 2y = 9: los coeficientes son proporcionales (1/2 = 1/2) pero los términos independientes no (2/9 ≠ 1/2).

Error típico. Definir una sola incógnita para dos cantidades distintas, o contestar con la incógnita auxiliar en lugar de lo que pide la pregunta. Si la pregunta es el costo de dos boletos de adulto, la respuesta es 160, no 80.