Cálculo Diferencial

El cálculo diferencial estudia cómo cambia una función. Para este tema del IPN (áreas Médico Biológicas, Sociales y Administrativas e Ingeniería y Ciencias Físico Matemáticas) una ruta de estudio ordenada es: entender las funciones, calcular límites, derivar con reglas y usar la derivada para describir el comportamiento de una gráfica.

Subtemas para estudiar

• Funciones: dominio, rango, composición y gráficas básicas.
• Límites: evaluar por sustitución, factorizar cuando sale 0/0 y reconocer límites en el infinito.
• Continuidad: cuándo una función tiene un salto o un hueco.
• Derivada: como pendiente de la recta tangente y como razón de cambio, con las reglas de potencia, suma, producto, cociente y cadena.
• Aplicaciones: recta tangente, intervalos de crecimiento, máximos y mínimos, problemas de optimización.

Cómo practicarlo

Un ejercicio puede pedir un valor concreto: un límite, la derivada de una expresión o el punto donde una función alcanza un máximo. Un límite típico es el de (x² − 4)/(x − 2) cuando x tiende a 2: al sustituir sale 0/0, pero al factorizar el numerador queda x + 2, y el límite es 4.

Para máximos y mínimos se deriva, se iguala a cero y se analiza el signo. Con f(x) = x³ − 6x² + 9x, f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3). Los puntos críticos son x = 1 y x = 3. La derivada es positiva antes de 1, negativa entre 1 y 3 y positiva después de 3, así que en x = 1 hay un máximo local con f(1) = 4 y en x = 3 un mínimo local con f(3) = 0.

Errores comunes

• Derivar un producto como el producto de las derivadas.
• Olvidar la regla de la cadena en expresiones como (3x + 1)⁵.
• Afirmar que hay un límite «infinito» solo porque la sustitución da 0/0.
• Dar el valor de x del máximo cuando se pedía el valor máximo de la función, o al revés.