Geometría Analítica

La geometría analítica describe una figura con una ecuación y reconoce una ecuación por su forma. En este tema del IPN se trabajan la recta y las cuatro cónicas; el objetivo es identificar cada cónica y extraer sus elementos: centro, radio, foco, vértice y ejes.

Subtemas para estudiar

• Recta: pendiente, forma punto-pendiente, ecuación general, paralelismo y perpendicularidad, distancia de un punto a una recta.
• Circunferencia: forma ordinaria (x − h)² + (y − k)² = r² y forma general.
• Parábola: vértice, foco y directriz; ecuaciones y² = 4px y x² = 4py.
• Elipse: x²/a² + y²/b² = 1, con semiejes a y b y focos a distancia c, donde c² = a² − b².
• Hipérbola: x²/a² − y²/b² = 1, con c² = a² + b² y asíntotas.

Cómo practicarlo

Se puede ir de la ecuación al elemento o del elemento a la ecuación. Para la circunferencia con centro (2, −3) y radio 5, la ecuación es (x − 2)² + (y + 3)² = 25. En la parábola y² = 8x, 4p = 8, así que p = 2 y el foco está en (2, 0). En la elipse x²/25 + y²/9 = 1, c² = 25 − 9 = 16 y los focos están en (±4, 0). En la hipérbola x²/9 − y²/16 = 1, c² = 9 + 16 = 25 y los focos están en (±5, 0).

El primer paso es reconocer la cónica por el signo y los exponentes: dos términos cuadráticos con el mismo coeficiente y mismo signo, circunferencia; uno solo cuadrático, parábola; dos con signos iguales y coeficientes distintos, elipse; con signos opuestos, hipérbola.

Errores comunes

• Cambiar el signo del centro: en (y + 3)², la coordenada es −3, no 3.
• Confundir el radio con su cuadrado: 25 es r², y r vale 5.
• En la elipse, usar a² + b² para obtener c, que es la relación de la hipérbola.
• Olvidar que la rama de la parábola abre hacia donde apunta el signo de p.