Productos notables y factorización

Este tema recoge las herramientas algebraicas «de segundo nivel» del examen de la UNAM: las que van más allá de desarrollar un binomio al cuadrado o sacar un factor común. Son cuatro técnicas que se apoyan entre sí. El binomio de Newton generaliza los productos notables a cualquier potencia; el teorema del residuo y del factor permite saber si un polinomio es divisible entre (x − a) sin hacer la división; y las fracciones algebraicas piden aplicar toda la factorización para simplificar y operar.

Qué debes dominar

• Binomio de Newton: el desarrollo de (a + b)ⁿ con coeficientes del triángulo de Pascal y la fórmula del término general.
• Teorema del residuo y del factor: evaluar un polinomio para obtener el residuo de dividir entre x − a, y reconocer factores.
• Simplificación de fracciones algebraicas: factorizar numerador y denominador y cancelar factores.
• Operaciones con fracciones algebraicas: sumar, restar, multiplicar y dividir con el mínimo común denominador.

Cómo practicarlo

Del binomio de Newton se pregunta un término específico (el cuarto, el que contiene x⁵) o un coeficiente. El teorema del residuo aparece como «¿qué valor de k hace que (x − 2) sea factor?» o «¿cuál es el residuo de dividir…?»; es un tema donde evaluar es mucho más rápido que dividir. Las fracciones algebraicas se presentan con opciones ya simplificadas, de modo que casi siempre el camino más seguro es factorizar todo antes de operar.

El orden recomendado es el de las clases: la factorización que aprendas con el teorema del factor se usa de inmediato en las fracciones.

Errores comunes

• Contar el término k del binomio desde 1 cuando la fórmula empieza en k = 0.
• Perder el signo de b en (a − b)ⁿ.
• Evaluar en a cuando el divisor es x + a (hay que evaluar en −a).
• Cancelar sumandos en una fracción en lugar de factores.