Cálculo integral

La integral hace el camino inverso a la derivada: reconstruye una cantidad total a partir de su rapidez de cambio. Tiene dos caras que el examen mezcla: la integral indefinida, que es una familia de funciones, y la definida, que es un número, a menudo un área o una acumulación.

Qué debes dominar

• Antiderivada e integral indefinida: por qué siempre aparece una constante de integración.
• Reglas básicas: potencias (con n distinto de −1), constantes, sumas, exponencial y trigonométricas simples; el caso 1/x da un logaritmo.
• Cambio de variable: reconocer cuándo una parte del integrando es la derivada de otra.
• Integral definida y teorema fundamental del cálculo: evaluar la antiderivada en los límites y restar.
• Aplicaciones: área bajo una curva, área entre dos curvas y recuperar una función a partir de su derivada y una condición inicial.

Cómo practicarlo

Se piden integrales inmediatas, el cálculo de un área o el valor de una integral definida. Ejemplo original: evalúa la integral de 0 a 2 de (3x² + 2x) dx. Una antiderivada es x³ + x². En 2 vale 8 + 4 = 12 y en 0 vale 0, así que el resultado es 12. Otro caso típico: el área bajo y = x² entre x = 0 y x = 3 es 3³/3 = 9 unidades cuadradas.

Si la pregunta da la velocidad de un cuerpo y pide la distancia recorrida en un intervalo, es una integral definida en disfraz; si da una derivada y un punto por donde pasa la curva, sirve para fijar la constante.

Errores comunes

• Omitir la constante C en la integral indefinida, o ponerla en la definida.
• Aplicar la regla de la potencia a 1/x, que corresponde a un logaritmo.
• Restar los límites al revés (valor en el límite inferior menos el superior).
• Olvidar que una integral definida da un valor con signo: si la curva queda bajo el eje, sale negativa y el área se toma en valor absoluto.