Álgebra vectorial

El álgebra vectorial es la herramienta matemática de la Física: fuerzas, velocidades y desplazamientos no se suman como números ordinarios, y este tema enseña cómo se operan. Lo comparten los temarios de Física del IPN para Ciencias Médico Biológicas (CMB) e Ingeniería y Ciencias Físico Matemáticas (IyCFM), así que se prepara igual en ambos casos. Los reactivos son de cálculo corto, pero exigen cuidado con los signos y con la geometría de cada caso.

Qué debes dominar

• Vector y componentes: un vector de magnitud A y ángulo θ con el eje x tiene componentes A_x = A·cos θ y A_y = A·sen θ.
• Suma y resta: componente a componente, o con los métodos gráficos del polígono y del paralelogramo.
• Magnitud y dirección: |A| = √(A_x² + A_y²) y θ = arctan(A_y ÷ A_x), con cuidado en el cuadrante.
• Producto escalar (punto): A·B = A_xB_x + A_yB_y = |A||B|·cos φ; es un número y sirve para hallar el ángulo entre vectores o el trabajo.
• Producto vectorial (cruz): A×B es un vector perpendicular a ambos y de magnitud |A||B|·sen φ; da el área del paralelogramo y se usa en la torca.

Cómo practicarlo

Un reactivo típico da dos vectores en componentes: con A = (3, 4) y B = (−1, 2), la suma es (2, 6); la magnitud de A es 5; el producto punto es 3(−1) + 4(2) = 5; y la componente en z del producto cruz es 3 × 2 − 4 × (−1) = 10. El ángulo entre ambos sale de cos φ = 5 ÷ (5 × √5) ≈ 0.447, es decir, 63.4°. Otro reactivo da una magnitud y un ángulo: un vector de 10 unidades a 37° tiene componentes de unas 8 y 6.

Errores comunes

• Sumar magnitudes en lugar de componentes.
• Dar a arctan el cuadrante equivocado cuando alguna componente es negativa.
• Confundir el producto punto (escalar) con el producto cruz (vector) o cambiar el orden en el cruz: A×B = −B×A.
• Intercambiar seno y coseno al descomponer un vector.