Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en un punto cualquiera del plano y eje focal paralelo…

Vértice en un punto cualquiera

Si el vértice es V(h, k) y el eje focal es paralelo a un eje coordenado, se traslada la ecuación: (y − k)² = 4p(x − h) si abre hacia un lado, o (x − h)² = 4p(y − k) si abre hacia arriba o abajo. El foco queda a p unidades del vértice sobre el eje focal.

Ejemplo. Para y² − 6y − 8x + 1 = 0 se completa el cuadrado en y: (y − 3)² = 8x + 8 = 8(x + 1). Entonces el vértice es (−1, 3), 4p = 8, p = 2, y el foco es (1, 3). En sentido contrario, (x − 2)² = 12(y + 1) se desarrolla en x² − 4x − 12y − 8 = 0.

Error típico. Dejar el 8 sin factorizar y leer el vértice mal. Antes de comparar con la forma ordinaria, el lado lineal debe quedar como 4p·(x − h), con la variable sola entre paréntesis.