Formas ordinaria y general de la ecuación de la parábola cuando el vértice está en el origen y el eje focal coincide con alguno de los…

Cuatro orientaciones, un parámetro

Con vértice en (0, 0) y eje focal sobre el eje x, la forma ordinaria es y² = 4px: abre a la derecha si p > 0 y a la izquierda si p < 0. Con eje focal sobre el eje y, es x² = 4py: abre hacia arriba si p > 0 y hacia abajo si p < 0. La forma general es y² − 4px = 0 o x² − 4py = 0.

Ejemplo. Foco (3, 0): p = 3, la ecuación es y² = 12x. En x² = −8y, 4p = −8, luego p = −2: el foco es (0, −2), la directriz es y = 2 y abre hacia abajo. Un truco para decidir la orientación sin dibujar: la variable que está al cuadrado indica el eje de simetría, y el signo del lado derecho dice hacia dónde se abre.

Error típico. Tomar el coeficiente completo como p. La distancia vértice-foco es p, y el coeficiente es 4p. En y² = 12x, el foco está a 3 unidades del origen, no a 12.