Cálculo diferencial

El cálculo diferencial estudia cómo cambia una cantidad cuando otra varía un poco. Su herramienta central es la derivada, que mide la pendiente de una curva en un punto y, en contextos reales, una rapidez: de un móvil, de un costo, de una población. En el examen se espera que derives con soltura y que sepas interpretar el resultado.

Qué debes dominar

• Límites: idea intuitiva, cálculo por sustitución, factorización y racionalización cuando aparece una indeterminación como 0/0.
• Continuidad: en qué puntos una función se interrumpe y por qué.
• Derivada como límite del cociente incremental y su interpretación geométrica como pendiente de la recta tangente.
• Reglas de derivación: potencia, constante, suma, producto, cociente y regla de la cadena; derivadas de funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas básicas.
• Aplicaciones: puntos críticos, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos, concavidad y problemas de optimización.

Cómo practicarlo

Lo más común es derivar una expresión, hallar la pendiente de la tangente en un punto o encontrar los extremos de una función. Ejemplo original: halla los máximos y mínimos de f(x) = x³ − 6x² + 9x. La derivada es f′(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3), que se anula en x = 1 y x = 3. La segunda derivada, f″(x) = 6x − 12, vale −6 en x = 1 (máximo) y 6 en x = 3 (mínimo). Los valores son f(1) = 4 y f(3) = 0.

Errores comunes

• Derivar un producto como el producto de las derivadas.
• Olvidar multiplicar por la derivada de lo de adentro en la regla de la cadena.
• Dar solo el valor de x del punto crítico cuando se pregunta por el valor máximo de la función.
• Suponer que f′(x) = 0 siempre indica un máximo o un mínimo: puede ser un punto de inflexión.